1. Какова вероятность того, что ровно 3 из 8 электрических лампочек перегорят за год? 2. Какова вероятность того

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку:

1. Какова вероятность того, что ровно 3 из 8 электрических лампочек перегорят за год?

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как мы хотим найти вероятность успеха (лампочка перегорает) в серии независимых испытаний (работа лампочек за год).

Вероятность успеха в одном испытании (перегорание одной лампочки) обозначим как \(p\), а количество испытаний (количество лампочек) как \(n\). В данной задаче \(p\) будет равно 1/8, так как нам нужно, чтобы ровно 3 лампочки перегорели, а остальные 5 остались работать.

Формула для вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(X\) - количество успехов, \(k\) - количество нужных успехов (в данной задаче 3), \(C(n, k)\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p\) - вероятность успеха в одном испытании, \(n\) - количество испытаний.

Воспользуемся этой формулой для нахождения искомой вероятности:

\[P(X = 3) = C(8, 3) \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{5}\]

Подставив числа в формулу и произведя вычисления, получим ответ:

\[P(X = 3) = 56 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{5} \approx 0.1797\]

Таким образом, вероятность того, что ровно 3 из 8 электрических лампочек перегорят за год, составляет примерно 0.1797.

2. Какова вероятность того, что второй стрелок попал в мишень, если две пули обнаружены в цели после залпа трех стрелков?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Где \(P(A|B)\) - вероятность события A при условии события B, \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B, \(P(B)\) - вероятность события B.

В данной задаче событие A - второй стрелок попал в мишень, событие B - обнаружены две пули в цели после залпа трех стрелков. Нам нужно найти вероятность \(P(A|B)\).

Сначала найдем вероятность события A и B. Вероятность попадания вторым стрелком в мишень обозначим как \(p\), а вероятность того, что обнаружены две пули в цели после залпа трех стрелков, обозначим как \(q\).

Формулы для данных вероятностей выглядят следующим образом:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = p \cdot p = p^2\]

\[P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\neg A) \cdot P(B|\neg A) = p \cdot p + (1-p) \cdot q\]

Зная эти формулы, теперь можем найти вероятность \(P(A|B)\):

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{p^2}{p^2 + (1-p) \cdot q}\]

3. Какова вероятность того, что второй стрелок попал в мишень, если после залпа трех стрелков в мишени обнаружены две пули?

Эта задача аналогична предыдущей, но здесь нам уже известно, что после залпа трех стрелков в мишени обнаружены две пули. То есть, событие B уже является фактом, его вероятность равна 1.

Мы можем использовать ту же формулу условной вероятности, что и в предыдущей задаче, и подставить \(P(B) = 1\), чтобы найти вероятность \(P(A|B)\):

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{p^2}{1} = p^2\]

Таким образом, вероятность того, что второй стрелок попал в мишень, при условии что после залпа трех стрелков в мишени обнаружены две пули, равна \(p^2\).

Это были подробные решения трех задач. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!