1) Как переписать выражение 1000x^3 * корень из y с основанием 10 в логарифмической форме? 2) Как выразить выражение

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы переписать выражение \(1000x^3 \cdot \sqrt{y}\) в логарифмической форме с основанием 10, нам понадобятся некоторые свойства логарифмов и знания о том, как логарифмическая форма выглядит.

Давайте воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что \(\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\) для любых положительных чисел \(b\) и \(c\).

Используя это свойство, мы можем разложить выражение \(1000x^3 \cdot \sqrt{y}\) на два логарифма:

\[1000x^3 \cdot \sqrt{y} = 1000 \cdot x^3 \cdot y^{1/2}\]

Теперь мы можем записать это в логарифмической форме:

\[\log_{10} (1000 \cdot x^3 \cdot y^{1/2}) = \log_{10} 1000 + \log_{10} x^3 + \log_{10} y^{1/2}\]

Давайте упростим каждый логарифм по отдельности:

\[\log_{10} 1000 = 3\] (так как \(10^3 = 1000\))

\[\log_{10} x^3 = 3 \log_{10} x\] (по свойству логарифмов \(\log_a {b^c} = c \log_a b\))

\[\log_{10} y^{1/2} = \frac{1}{2} \log_{10} y\] (по свойству логарифмов \(\log_a \sqrt{b} = \frac{1}{2} \log_a b\))

Теперь объединим все полученные результаты:

\[\log_{10} (1000 \cdot x^3 \cdot y^{1/2}) = 3 + 3 \log_{10} x + \frac{1}{2} \log_{10} y\]

Это является логарифмической формой заданного выражения с основанием 10.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы выразить выражение \(9^{0,5 - \log_3 2} - \log_3 \log_2 8\) в другом виде, мы можем использовать некоторые свойства логарифмов и степеней.

Давайте разберемся сначала с первой частью выражения \(9^{0,5 - \log_3 2}\).

Заметим, что \(0,5 - \log_3 2 = \log_3 \sqrt{2}\). Это справедливо, потому что \(\log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right)\), и в данном случае \(0,5 - \log_3 2 = \log_3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \log_3 \sqrt{2}\).

Таким образом, первая часть выражения \(9^{0,5 - \log_3 2}\) может быть заменена на \(9^{\log_3 \sqrt{2}}\).

Теперь давайте посмотрим на вторую часть выражения \(\log_3 \log_2 8\). Заметим, что \(\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3\). Таким образом, \(\log_3 \log_2 8 = \log_3 \log_3 3\).

Теперь мы можем объединить обе части выражения:

\(9^{0,5 - \log_3 2} - \log_3 \log_2 8 = 9^{\log_3 \sqrt{2}} - \log_3 \log_3 3\).

Заметим, что \(\log_a a = 1\) для любого положительного числа \(a\), поэтому \(\log_3 \log_3 3 = 1\).

Таким образом, выражение приобретает вид:

\(9^{\log_3 \sqrt{2}} - \log_3 \log_3 3 = 9^{\log_3 \sqrt{2}} - 1\).

Это и есть выражение в другом виде.