1. Какова вероятность того, что из 10 студентов в данном курсе 5 студентов имеют слабое зрение, если 30 % студентов

1. Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать понятие вероятности в комбинаторике. Вероятность состоит из отношения числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Дано, что 30% студентов в данном курсе имеют слабое зрение. Это означает, что из 100 студентов 30 имеют слабое зрение. Мы хотим найти вероятность того, что среди 10 случайно выбранных студентов 5 будут иметь слабое зрение.

Для нахождения этой вероятности мы можем использовать формулу биномиального распределения:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что случайно выбранные студенты с слабым зрением составят k человек из 10;
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k, оно равно \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - общее число студентов (10), \(k\) - число студентов со слабым зрением (5);
- \(p\) - вероятность того, что студент имеет слабое зрение (0.3);
- \(n\) - общее число студентов, среди которых мы выбираем (10);
- \(k\) - число студентов со слабым зрением, которых мы хотим выбрать (5).

Теперь мы можем рассчитать эту вероятность:

\[P(X=5) = C_{10}^5 \cdot 0.3^5 \cdot (1-0.3)^{10-5}\]

Подставив значения, получим:

\[
P(X=5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} \cdot 0.3^5 \cdot (1-0.3)^{10-5}
\]

\(C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{120} = 25\)

Подставив это значение, получим:

\[
P(X=5) = 25 \cdot 0.3^5 \cdot (1-0.3)^{10-5}
\]

Вычислим это значение:

\[
P(X=5) = 25 \cdot 0.3^5 \cdot 0.7^5 \approx 0.102
\]

Таким образом, вероятность того, что из 10 случайно выбранных студентов 5 будут иметь слабое зрение, составляет около 0.102 или около 10.2%.

2. В этой задаче нам нужно найти вероятность выиграть 4 партии из 6 соперников, если вероятность выиграть одну партию равна 0.33.

Поскольку каждая партия является независимым событием, мы можем использовать формулу биномиального распределения для нахождения вероятности:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность выиграть k партий из n;
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k;
- \(p\) - вероятность выиграть одну партию;
- \(n\) - общее число партий, которые нужно сыграть (6);
- \(k\) - число партий, которые мы хотим выиграть (4).

Теперь мы можем рассчитать эту вероятность:

\[P(X=4) = C_6^4 \cdot 0.33^4 \cdot (1-0.33)^{6-4}\]

Подставив значения, получим:

\[
P(X=4) = C_6^4 \cdot 0.33^4 \cdot (1-0.33)^{6-4}
\]

Вычислим значение числа сочетаний:

\[
C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15
\]

Подставив это значение, получим:

\[
P(X=4) = 15 \cdot 0.33^4 \cdot (1-0.33)^{6-4}
\]

Вычислим это значение:

\[
P(X=4) = 15 \cdot 0.33^4 \cdot 0.67^2 \approx 0.261
\]

Таким образом, вероятность выиграть 4 партии из 6 соперников составляет около 0.261 или около 26.1%.

3. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как нам нужно найти вероятность того, что в течение часа будет произведено 3 звонка абонентам из 500 обслуживаемых.

В данной задаче вероятность одного звонка составляет 0.01, и мы хотим узнать вероятность получения 3 звонков за час.

Формула биномиального распределения в данном случае будет выглядеть так:

\[P(X=3) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=3)\) - вероятность получения 3 звонков за час;
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k;
- \(p\) - вероятность одного звонка;
- \(n\) - общее число звонков за час, которые мы пытаемся получить (3);
- \(k\) - число звонков, которые мы хотим получить (3).

Теперь мы можем рассчитать эту вероятность:

\[P(X=3) = C_{500}^3 \cdot 0.01^3 \cdot (1-0.01)^{500-3}\]

Подставив значения, получим:

\[
P(X=3) = C_{500}^3 \cdot 0.01^3 \cdot (1-0.01)^{500-3}
\]

Вычислим значение числа сочетаний:

\[
C_{500}^3 = \frac{500!}{3!(500-3)!} = \frac{500!}{3! \cdot 497!} = \frac{500 \cdot 499 \cdot 498}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 81616750
\]

Подставив это значение, получим:

\[
P(X=3) = 81616750 \cdot 0.01^3 \cdot (1-0.01)^{500-3}
\]

Вычислим это значение:

\[
P(X=3) = 81616750 \cdot 0.01^3 \cdot 0.99^{497} \approx 0.139
\]

Таким образом, вероятность получения 3 звонков за час составляет около 0.139 или около 13.9%.