1) Какова вероятность, что на игровом кубике выпадет 6 очков именно 2 раза из 5 бросков? 2) Если игральный кубик

1) Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждый бросок кубика является независимым событием с двумя возможными исходами: выпадение 6 очков или не выпадение 6 очков.

При бросании игрового кубика вероятность выпадения 6 очков составляет 1/6, а вероятность не выпадения 6 очков составляет 5/6. Для нашей задачи мы ищем вероятность того, что из 5 бросков ровно 2 раза выпадет 6 очков.

По формуле биномиального распределения вероятность получить \(k\) успехов в \(n\) независимых испытаниях с вероятностью успеха \(p\) и вероятностью неуспеха \(1-p\) вычисляется следующим образом:

\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из \(n\) по \(k\).

В нашей задаче, \(n = 5\), \(k = 2\), \(p = \frac{1}{6}\) и \(1-p = \frac{5}{6}\), поэтому мы можем вычислить вероятность следующим образом:

\[P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]

\[P(X = 2) = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{1}{6^2} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]

\[P(X = 2) = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]

\[P(X = 2) = \frac{10}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\]

\[P(X = 2) = \frac{10 \cdot 125}{36 \cdot 216}\]

\[P(X = 2) = \frac{1250}{7776}\]

Таким образом, вероятность получить ровно 2 раза выпадение 6 очков при пяти бросках игрового кубика составляет \(\frac{1250}{7776}\).

2) Аналогично первой задаче, мы можем использовать биномиальное распределение для решения этой задачи.

Вероятность получить ровно 4 раза выпадение 6 очков при 5 бросках игрального кубика можно вычислить следующим образом:

\[P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\]

\[P(X = 4) = \frac{5!}{4!1!} \cdot \frac{1}{6^4} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)\]

\[P(X = 4) = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6}\]

\[P(X = 4) = \frac{25}{7776}\]

Таким образом, вероятность получить ровно 4 раза выпадение 6 очков при пяти бросках игрального кубика составляет \(\frac{25}{7776}\).