1. Представьте на числовой оси все значения переменной х, при которых верно утверждение: 1) х больше или равно -4

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

1. Представьте на числовой оси все значения переменной х, при которых верно утверждение:

1) \(x \geq -4\) и \(x \leq 1\)

Для начала нарисуем числовую ось. На ней мы пометим -4 и 1, и они будут представлять наши неравенства.

\[
\begin{array}{cccc}
& \ldots & -4 & \ldots & 1 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь отметим все значения x, которые удовлетворяют этим неравенствам, то есть значения от -4 до 1 включительно.

\[
\begin{array}{cccc}
& \ldots & -4 & \ldots & 1 & \ldots \\
& \text{{-------------------------------------}} \\
& \text{{----}} & \text{{---------}} & \text{{------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: все значения \(x\), которые удовлетворяют этому утверждению, лежат в интервале от -4 до 1 включительно.

2) \(x \leq -2\) и \(x \geq 2\)

Снова нарисуем числовую ось и пометим -2 и 2.

\[
\begin{array}{cccc}
& \ldots & -2 & \ldots & 2 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь отметим все значения x, которые удовлетворяют этим неравенствам, то есть значения, меньшие или равные -2, и значения, большие или равные 2.

\[
\begin{array}{cccc}
& \ldots & -2 & \ldots & 2 & \ldots \\
& \text{{------}} & \text{{--------}} & \text{{------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: нет значений \(x\), которые одновременно удовлетворяют этим двум неравенствам.

3) \(\left| x \right| \leq 3\)

Снова нарисуем числовую ось и пометим -3 и 3.

\[
\begin{array}{ccccccccc}
& \ldots & -3 & \ldots & -2 & \ldots & 2 & \ldots & 3 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь отметим все значения x, для которых абсолютное значение \(\left| x \right|\) меньше или равно 3, то есть все значения, находящиеся в пределах -3 и 3.

\[
\begin{array}{ccccccccc}
& \ldots & -3 & \ldots & -2 & \ldots & 2 & \ldots & 3 & \ldots \\
& & \text{{--------}} & \text{{-----------------}} & \text{{-----------------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: все значения \(x\), которые удовлетворяют этому утверждению, находятся в пределах от -3 до 3 включительно.

4) \(\left| x \right| \geq 4\)

Снова нарисуем числовую ось и пометим -4 и 4.

\[
\begin{array}{cccccccc}
& \ldots & -4 & \ldots & -3 & \ldots & 3 & \ldots & 4 & \ldots \\
\end{array}
\]

Теперь отметим все значения x, для которых абсолютное значение \(\left| x \right|\) больше или равно 4, то есть все значения, находящиеся за пределами -4 и 4.

\[
\begin{array}{cccccccc}
& \ldots & -4 & \ldots & -3 & \ldots & 3 & \ldots & 4 & \ldots \\
& & \text{{-----------------}} & \text{{--------}} & & & & \text{{-----------------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: все значения \(x\), которые удовлетворяют этому утверждению, лежат за пределами -4 и 4.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Нарисуйте круги Эйлера, чтобы для любых множеств \(A\), \(B\), и \(C\), где \(A\) является надмножеством \(B\) и в то же время надмножеством \(C\), следующие равенства верны:

1) \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\)

Для начала нарисуем три круга, представляющих множества \(A\), \(B\) и \(C\). Причем \(A\) будет надмножеством \(B\), а \(A\) также будет надмножеством \(C\).

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\]

Теперь построим круг Эйлера, соответствующий \(A \setminus (B \cup C)\), то есть значениям, принадлежащим \(A\), но не принадлежащим одновременно \(B\) и \(C\).

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{-----------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\]

Затем нарисуем круг Эйлера для \((A \setminus B) \cap (A \setminus C)\), что представляет собой значения, принадлежащие \(A\) и не принадлежащие одновременно \(B\) и \(C\).

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{-----------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Пересечение }} (A \setminus B) \\
\text{{с }} (A \setminus C) \\
\text{{----------------------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: по картине видно, что оба круга Эйлера совпадают, что означает, что равенство \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) верно для любых данных множеств.

2) \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\)

Снова нарисуем три круга для множеств \(A\), \(B\) и \(C\), и пометим их соответствующим образом.

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\]

Затем нарисуем круг Эйлера для \(A \setminus (B \cap C)\), что представляет собой значения, принадлежащие \(A\) и не принадлежащие одновременно \(B\) и \(C\).

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{-----------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\]

После этого построим круг Эйлера для \((A \setminus B) \cup (A \setminus C)\), что представляет собой значения, принадлежащие \(A\) и не принадлежащие либо \(B\), либо \(C\), или же не принадлежащие как \(B\), так и \(C\).

\[
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} A \\
\text{{-----------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} B \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Множество }} C \\
\text{{------}} \\
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
\text{{Объединение }} (A \setminus B) \\
\text{{с }} (A \setminus C) \\
\text{{----------------------}} \\
\end{array}
\]

Ответ: по картине видно, что оба круга Эйлера совпадают, что означает, что равенство \(A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)\) верно для любых данных множеств.

Наконец, к третьей задаче.

3. Для множества \(A = \{3, 5, 7, 8, 9\}\) и \(B = \{8\}\), найдите:

1) \(A \cap B\) (пересечение множеств)

Пересечение множеств \(A\) и \(B\) представляет собой элементы, которые находятся одновременно в обоих множествах \(A\) и \(B\).

\(A = \{3, 5, 7, 8, 9\}\)

\(B = \{8\}\)

Пересечение:

\(A \cap B = \{8\}\)

Ответ: пересечение множеств \(A\) и \(B\) равно \(\{8\}\).

2) \(A \cup B\) (объединение множеств)

Объединение множеств \(A\) и \(B\) представляет собой все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств \(A\) или \(B\).

\(A = \{3, 5, 7, 8, 9\}\)

\(B = \{8\}\)

Объединение:

\(A \cup B = \{3, 5, 7, 8, 9\}\)

Ответ: объединение множеств \(A\) и \(B\) равно \(\{3, 5, 7, 8, 9\}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения и объяснения помогут вам лучше понять эти задачи.