1. Какова площадь поверхности шара, если его большой круг имеет площадь 15? 2. Найдите площадь поверхности шара, если

1. Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

где \(S\) - площадь поверхности шара, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, \(r\) - радиус шара.

Дано, что площадь большого круга шара равна 15. По определению, этот круг - это сечение шара плоскостью, проходящей через его центр. Площадь большого круга шара равна площади поверхности шара:

\[15 = 4\pi r^2\]

Чтобы найти площадь поверхности шара, нужно разделить обе части равенства на 4\(\pi\):

\[\frac{15}{4\pi} = r^2\]

Теперь найдем площадь поверхности шара:

\[S = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot \frac{15}{4\pi} = 15\]

Ответ: площадь поверхности шара равна 15.

2. Для нахождения площади поверхности шара с заданным радиусом нужно использовать ту же формулу:

\[S = 4\pi r^2\]

Подставляем значение радиуса шара равное 5 метров:

\[S = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi\]

Ответ: площадь поверхности шара равна \(100\pi\) квадратных метров.

3. Если радиус шара увеличивается в 4 раза, то новый радиус будет равен \(4r\). Площадь поверхности шара с новым радиусом можно найти по формуле:

\[S_{\text{нов}} = 4\pi (4r)^2 = 4\pi \cdot 16r^2 = 64 \cdot (4\pi r^2)\]

Площадь поверхности нового шара будет в 64 раза больше площади поверхности исходного шара.

Ответ: площадь поверхности шара увеличится в 64 раза.

4. Если радиус шара увеличивается в 5 раз, то новый радиус будет равен \(5r\). Объем шара с новым радиусом можно найти по формуле:

\[V_{\text{нов}} = \frac{4}{3}\pi (5r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125r^3 = 125 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\]

Объем нового шара будет в 125 раз больше объема исходного шара.

Ответ: объем шара увеличится в 125 раз.

5. Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, можно найти по формуле:

\[S_{\text{сечения}} = \pi r^2\]

где \(S_{\text{сечения}}\) - площадь сечения шара, \(r\) - радиус шара.

Дано, что площадь сечения шара равна 16 см\(^2\). Подставим значение площади и найдем радиус шара:

\[16 = \pi r^2\]

Решим уравнение относительно \(r^2\):

\[r^2 = \frac{16}{\pi}\]

Теперь найдем объем шара:

\[V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \left(\sqrt{\frac{16}{\pi}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{16}{\sqrt{\pi}}\]

Ответ: объем шара равен \(\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{16}{\sqrt{\pi}}\) кубических сантиметров.

6. Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

\[S = 4\pi r^2\]

Пусть радиус искомого шара равен \(R\). Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[4\pi R^2 = 4\pi (30^2 + 30^2) = 4\pi (900 + 900) = 4\pi \cdot 1800 = 7200\pi\]

Теперь найдем радиус искомого шара:

\[R = \sqrt{\frac{7200\pi}{4\pi}} = \sqrt{1800} \approx 42.43\]

Ответ: радиус шара, у которого площадь поверхности равна сумме площадей поверхностей двух шаров с радиусами 30, примерно равен 42.43.