Як показати, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей паралелограма, також перпендикулярна до його сторін?

Щоб показати, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей паралелограма, також перпендикулярна до його сторін, ми можемо скористатися властивостями паралелограма та властивостями перпендикулярних прямих.

Допустимо, що у нас є паралелограм ABCD, де AB і CD - його сторони, а AC і BD - діагоналі. Нам потрібно довести, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей AC і BD, також перпендикулярна до сторін AB і CD.

Для доведення цього факту виконаємо наступні кроки:

Крок 1: Доведення того, що діагоналі AC і BD перпендикулярні.

\(\displaystyle AC\) та \(\displaystyle BD\) - діагоналі паралелограма ABCD.

За властивостями паралелограма, протилежні сторони паралелограма рівні та паралельні.

Отже, \(\displaystyle AB\parallel CD\) і \(\displaystyle BC\parallel AD\).

Враховуючи це, ми можемо використовувати властивості паралелограма для доведення перпендикулярності діагоналей.

Ми знаємо, що дві прямі паралельні, якщо їхні вектори мають однакові співвідношення компонентів, тому можемо записати:

\(\displaystyle \dfrac{A\text{C}}{A\text{D}} = \dfrac{B\text{C}}{B\text{D}}\)

(де \(\displaystyle A\text{C}\) - вектор діагоналі AC, \(\displaystyle A\text{D}\) - вектор діагоналі AD, \(\displaystyle B\text{C}\) - вектор діагоналі BC, \(\displaystyle B\text{D}\) - вектор діагоналі BD)

Для спрощення запису використовуватимемо \(\displaystyle \mathop{\to }\limits^{\wedge }\) для позначення векторів. Тоді отримаємо:

\(\displaystyle \overset{\wedge }{A\text{C}} = \overset{\wedge }{A\text{D}} +\overset{\wedge }{C\text{D}}\)

\(\displaystyle \overset{\wedge }{B\text{D}} = \overset{\wedge }{B\text{C}} +\overset{\wedge }{C\text{D}}\)

Значення вектора \(\displaystyle \overset{\wedge }{C\text{D}}\) скасовується, оскільки воно з"являється у кожному співвідношенні. Залишається:

\(\displaystyle \overset{\wedge }{A\text{C}} = \overset{\wedge }{A\text{D}}\)

\(\displaystyle \overset{\wedge }{B\text{D}} = \overset{\wedge }{B\text{C}}\)

Таким чином, ми довели, що діагоналі AC і BD паралельні та мають однакові напрямки.

Крок 2: Доведення того, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей AC і BD, також перпендикулярна до сторін AB і CD.

Оскільки ми вже довели, що діагоналі AC і BD паралельні, ми можемо використовувати властивості паралелограма для доведення перпендикулярності сторін AB і CD.

За властивостями паралелограма, протилежні сторони паралелограма рівні та паралельні.

З урахуванням цього і факту, що діагоналі AC і BD перпендикулярні, ми можемо стверджувати, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей, також перпендикулярна до сторін паралелограма.

Отже, ми довели, що пряма, яка перпендикулярна до діагоналей паралелограма, також перпендикулярна до його сторін.