1. Какова площадь поверхности и объем прямой призмы с основанием в форме ромба со стороной 12 см и углом 30º, и высотой

Конечно! Давайте пошагово решим каждую задачу:

1. Для начала, определим площадь поверхности. Площадь поверхности прямой призмы можно найти, сложив площади боковых граней и площадь основания. У нас есть основание в форме ромба, поэтому нам необходимо найти площадь основания и площадь четырех боковых граней.

Первым шагом найдем площадь основания ромба. Формула для площади ромба: \(S = a \cdot h\), где \(a\) - длина стороны ромба, \(h\) - высота, опущенная на эту сторону.

Для нашего ромба сторона равна 12 см, а высота опущенная на эту сторону можно найти как половину произведения стороны и синуса угла между стороной и высотой ромба. У нас задан угол 30º, поэтому сначала найдем синус 30º: \(\sin(30º) = \frac{1}{2}\). Теперь можем найти высоту: \(h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 3\) см.

Теперь подставим значения в формулу площади основания: \(S_{\text{осн}} = 12 \cdot 3 = 36\) см².

Теперь найдем площадь боковых граней. В прямой призме все боковые грани равны между собой, поэтому нам достаточно найти площадь одной боковой грани, а затем умножить ее на количество боковых граней. Площадь боковой грани можно найти, применяя формулу площади параллелограмма: \(S_{\text{бок}} = a \cdot h\), где \(a\) - длина основания ромба, \(h\) - высота ромба.

Подставим значения: \(S_{\text{бок}} = 12 \cdot 7 = 84\) см².

Теперь найдем площадь поверхности прямой призмы, сложив площадь основания и площади боковых граней: \(S_{\text{пов}} = 36 + 84 \cdot 4 = 36 + 336 = 372\) см².

Для нахождения объема прямой призмы, нужно умножить площадь основания на высоту: \(V = S_{\text{осн}} \cdot h_{\text{приз}} = 36 \cdot 7 = 252\) см³.

2. Для определения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды сначала найдем площадь основания. У нас основание является квадратом со стороной 12 см, поэтому площадь основания равна \(S_{\text{осн. пирамиды}} = 12 \cdot 12 = 144\) см².

Теперь нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Формула для этого: \(S_{\text{бок пирамиды}} = P_{\text{осн. пирамиды}} \cdot l_{\text{бок}}\), где \(P_{\text{осн. пирамиды}}\) - периметр основания пирамиды, \(l_{\text{бок}}\) - длина боковой грани пирамиды.

Для нашей пирамиды периметр основания равен \(P_{\text{осн. пирамиды}} = 4 \cdot 12 = 48\) см.

Длину боковой грани можно найти с помощью формулы Пифагора: \(l_{\text{бок}} = \sqrt{h_{\text{пирамиды}}^2 + a_{\text{бок}}^2}\), где \(h_{\text{пирамиды}}\) - высота пирамиды, \(a_{\text{бок}}\) - длина стороны основания пирамиды.

Для нашей пирамиды высота равна 8 см, апофема (расстояние от вершины пирамиды до середины ребра основания) равна 10 см. Чтобы найти длину стороны основания, разделим периметр основания на 4: \(a_{\text{бок}} = \frac{P_{\text{осн. пирамиды}}}{4} = \frac{48}{4} = 12\) см.

Подставляем значения в формулу: \(l_{\text{бок}} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} \approx 14,42\) см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды: \(S_{\text{бок пирамиды}} = P_{\text{осн. пирамиды}} \cdot l_{\text{бок}} = 48 \cdot 14,42 \approx 689,76\) см².

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды, нам нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности: \(S_{\text{пов. пирамиды}} = S_{\text{осн. пирамиды}} + S_{\text{бок пирамиды}} = 144 + 689,76 \approx 833,76\) см².

Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на треть высоты пирамиды: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн. пирамиды}} \cdot h_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 1152 = 384\) см³.

3. Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, нужно сложить площади двух оснований и площадь боковой поверхности. Формула для площади поверхности цилиндра: \(S_{\text{пов. цилиндра}} = 2 \cdot S_{\text{осн. цилиндра}} + S_{\text{бок. цилиндра}}\).

Площадь основания цилиндра равна площади круга с радиусом 3 см: \(S_{\text{осн. цилиндра}} = \pi \cdot r^2 = 3,14 \cdot 3^2 = 28,26\) см².

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, умножив периметр основания на высоту цилиндра: \(S_{\text{бок. цилиндра}} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot 3,14 \cdot 3 \cdot 5 = 94,2\) см².

Подставим значения в формулу площади поверхности цилиндра: \(S_{\text{пов. цилиндра}} = 2 \cdot 28,26 + 94,2 = 150,72\) см².

Объем цилиндра можно найти, умножив площадь основания на высоту цилиндра: \(V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{осн. цилиндра}} \cdot h_{\text{цилиндра}} = 28,26 \cdot 5 = 141,3\) см³.

4. Чтобы найти площадь поверхности сферы, нужно использовать формулу \(S_{\text{сферы}} = 4 \pi r^2\), где \(r\) - радиус сферы.

Подставим значение радиуса 6 см в формулу: \(S_{\text{сферы}} = 4 \cdot 3,14 \cdot 6^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 36 = 452,16\) см².

Объем шара можно найти по формуле \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3\).

Подставим значение радиуса 6 см в формулу: \(V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 216 = 904,32\) см³.

Чтобы определить, достаточно ли металлического бруска в форме прямоугольного параллелепипеда для выплавления сферы, найдем объем бруска и сравним его с объемом шара.

Объем бруска можно найти, умножив длину, ширину и высоту: \(V_{\text{бруска}} = a \cdot b \cdot h = 9 \cdot 10 \cdot 11 = 990\) см³.

Сравним объем бруска и объем шара: \(V_{\text{бруска}} = 990\) см³, \(V_{\text{шара}} = 904,32\) см³.

Таким образом, объем металлического бруска достаточен для выплавления шара.