1. Какова площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем тела, если прямоугольник со сторонами 6

Хорошо! Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Для начала, рассмотрим прямоугольник, который вращается вокруг меньшей стороны. Меньшая сторона прямоугольника в этом случае является высотой цилиндра.

Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, нужно вычислить длину окружности основания и умножить ее на высоту цилиндра. Длина окружности основания равна \(2\pi\) (по формуле \(\pi d\), где \(d\) - диаметр). Высота цилиндра равна \(4\) дм.

Тогда площадь боковой поверхности равна \(2\pi \cdot 4\), что равно \(8\pi\) квадратных дециметров.

Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя площадь боковой поверхности и две площади оснований. Площадь основания равна площади прямоугольника, который равен \(6\) дм умножить на \(4\) дм, то есть \(24\) квадратных дециметра. Таким образом, площадь полной поверхности равна \(8\pi + 2 \cdot 24 = 8\pi + 48\) квадратных дециметров.

Для нахождения объема цилиндра нужно умножить площадь основания на его высоту. Площадь основания равна \(6 \cdot 4 = 24\) квадратных дециметра, а высота равна \(4\) дм.

Тогда объем цилиндра равен \(24 \cdot 4\) кубических дециметра, что равно \(96\) кубическим дециметрам.

2. Дано, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi\), а диаметр его основания равен \(1\).

Формула для площади боковой поверхности цилиндра: \(2\pi r h\), где \(r\) - радиус, \(h\) - высота. Мы знаем, что \(2\pi = 2\pi r h\).

Так как нам нужно найти высоту, мы можем переписать формулу: \(h = \frac{2\pi}{2\pi r}\).

Диаметр равен \(1\), что означает, что радиус равен \(\frac{1}{2}\).

Тогда \(h = \frac{2\pi}{2\pi \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\).

Таким образом, высота цилиндра равна \(2\).

3. У нас есть площадь полной поверхности цилиндра, которая равна \(36\pi\) квадратных дециметров. Радиус основания меньше высоты на \(5\) дм.

Площадь полной поверхности цилиндра включает в себя площадь боковой поверхности и две площади оснований. Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле \(2\pi r h\), где \(r\) - радиус, \(h\) - высота.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности равна \(36\pi\), поэтому \(2\pi r h = 36\pi\).

Также дано, что радиус меньше высоты на \(5\) дм, то есть \(r = h - 5\).

Теперь подставим это значение в уравнение: \(2\pi (h - 5) h = 36\pi\).

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \(2\pi h^2 - 10\pi h = 36\pi\).

Теперь перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: \(2\pi h^2 - 10\pi h - 36\pi = 0\).

Разделим все слагаемые на \(\pi\), чтобы сократить его: \(2h^2 - 10h - 36 = 0\).

Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию. Здесь используем факторизацию.

Разложим коэффициент при \(h^2\) на множители: \(h^2 - 5h - 18h - 36 = 0\).

Факторизуем группы слагаемых: \(h(h - 5) - 18(h - 5) = 0\).

Теперь вынесем общий множитель: \((h - 5)(h - 18) = 0\).

Получили два возможных значения для \(h\): \(h = 5\) или \(h = 18\).

Так как нам сказано, что радиус меньше высоты, то \(r = h - 5\).

Если \(h = 5\), то \(r = 5 - 5 = 0\). Это неправильное решение, так как радиус не может быть нулевым.

Тогда правильный ответ: высота цилиндра равна \(h = 18\) дм, а радиус равен \(r = 18 - 5 = 13\) дм.