1) Какова область определения функции у=3/2x+1? 2) Что является областью определения функции у=корень из 16-х

1) Областью определения функции \(у = \frac{3}{2}x + 1\) является множество всех возможных значений переменной \(x\), при которых функция имеет смысл и не вызывает деление на ноль или другие неопределенности.

Для данной функции мы имеем только одно слагаемое, содержащее переменную \(x\), и оно является линейной функцией. Линейная функция определена для всех вещественных чисел, так как не вызывает деление на ноль или извлечение корня.

Таким образом, область определения функции \(у = \frac{3}{2}x + 1\) – все вещественные числа.

2) Для функции \(у = \sqrt{16-x^2}\) областью определения является множество всех возможных значений переменной \(x\), при которых функция имеет смысл и не вызывает взятия корня из отрицательного числа.

У нас есть квадратный корень из выражения \(16-x^2\). Чтобы избежать взятия корня из отрицательного значения, необходимо, чтобы выражение \(16-x^2\) было неотрицательным. Это значит, что \(16-x^2 \geq 0\).

Решим неравенство:
\[16-x^2 \geq 0\]

Выражение \(16-x^2\) можно записать как произведение \((4+x)(4-x)\), и неравенство примет вид:
\[(4+x)(4-x) \geq 0\]

Рассмотрим знаки выражения \((4+x)\) и \((4-x)\) в интервалах между корнями -4 и 4:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -4 & 4 & +\infty\\ \hline
4+x & + & 0 & + & + \\ \hline
4-x & - & - & + & + \\ \hline
\end{array}
\]

Знаки выражения \((4+x)\) и \((4-x)\) меняются при \(x = -4\) и \(x = 4\). Область определения функции будет соответствовать интервалам, где одновременно выполняется условие \((4+x) \geq 0\) и \((4-x) \geq 0\).

Исследуем каждый интервал отдельно:

- Для интервала \(-\infty < x < -4\), оба выражения \((4+x)\) и \((4-x)\) отрицательны. Поэтому неравенство невыполнимо, и этот интервал не входит в область определения.

- Для интервала \(-4 < x < 4\), выражение \((4+x)\) положительно, а \((4-x)\) отрицательно. Неравенство невыполнимо и на этом интервале, поэтому он также не входит в область определения.

- Для интервала \(4 < x < +\infty\), оба выражения \((4+x)\) и \((4-x)\) положительны. Неравенство выполняется, и этот интервал входит в область определения.

Таким образом, область определения функции \(у = \sqrt{16-x^2}\) – интервал \(4 < x < +\infty\).