1) Какова длина отрезка PP1, если DD = 35 см и KP:PD = 5:2, а точка Р лежит на отрезке DK, через точку К проведена

4) Если диагональ ромба КМ равна 10 см, а угол МКL равен 45°, то каковы длины сторон этого ромба?

1) Для решения этой задачи мы можем использовать соотношение между отношениями длин отрезков. Пусть \(x\) - длина отрезка \(PP_1\). Тогда отношение \(KP:PD\) равно \(5:2\), что означает, что \(\frac{KP}{PD} = \frac{5}{2}\).
Так как точка \(Р\) лежит на отрезке \(DK\), то мы можем записать отношение между отрезками \(PK:KD\) следующим образом: \(\frac{PK}{KD} = \frac{7}{2}\).
Из этих двух отношений мы можем составить уравнение: \(\frac{KP}{PD} \cdot \frac{PK}{KD} = \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2}\).
Упростив это уравнение, получим: \(\frac{KP}{KD} = \frac{35}{4}\).

Теперь мы можем решить уравнение: \(\frac{KP}{KP+PP_1} = \frac{35}{4}\).
Разрешим это уравнение относительно \(PP_1\): \(KP + PP_1 = \frac{35}{4} \cdot KP\).
Выразим \(PP_1\): \(PP_1 = \frac{35}{4} \cdot KP - KP\).
Упростим: \(PP_1 = \frac{35}{4} \cdot KP - \frac{4}{4} \cdot KP\).
Получим: \(PP_1 = \frac{31}{4} \cdot KP\).

Таким образом, длина отрезка \(PP_1\) равна \(\frac{31}{4}\) раз длине отрезка \(KP\).

2) Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть геометрическую ситуацию. Прямая EF проходит через вершину треугольника REQ и не лежит в плоскости треугольника.

Поскольку точки C и B являются серединами отрезков RQ и ER, прямая EF будет пересекать отрезки RQ и ER в центральных точках. То есть, точка пересечения прямой EF с отрезком RQ будет серединой отрезка RQ, а точка пересечения прямой EF с отрезком ER будет серединой отрезка ER.

Угол FEQ равен 160°, что означает, что угол RER (или его дополнение) также равен 160°. Таким образом, угол RER равен 20°.

Теперь, поскольку EF пересекает отрезок RQ в его середине, это означает, что угол REC равен углу BEC, так как точка E находится на середине отрезка ER. Таким образом, угол REC равен 20°.

Итак, мы имеем угол REC равным 20°, угол ERQ также равен 20° и, следовательно, угол REQ равен 140°.

Таким образом, между прямыми СВ и EF существует угол, и его мера равна 140°.

3) По условию точка А не принадлежит плоскости ромба KLMN, а прямая \(р\) параллельна стороне ML ромба. В этом случае угол, образованный прямой \(р\) и плоскостью ромба, будет прямым углом.

4) Для решения этой задачи нам дана диагональ KM ромба, которая равна 10 см, и известно, что угол MKL равен 45°. Мы хотим найти длины сторон ромба.

Так как KM является диагональю ромба, она делит ромб на два равнобедренных треугольника. Угол MKL равен 45°, что значит, что оба угла M и L равны 67.5° (45° / 2 = 22.5° и 90° - 22.5° = 67.5°).

Теперь мы можем использовать свойство равнобедренных треугольников: стороны ромба, соответствующие основаниям равнобедренных треугольников, равны друг другу.

Пусть сторона ромба равна \(x\). Тогда сторона основания треугольника MKL равна \(x\), а сторона основания треугольника KNL также равна \(x\).

В треугольнике KNL у нас имеется прямой угол в точке N и два равных угла LKN и LNК (как соответствующие углы).

Таким образом, треугольник KNL является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны \(x\) ромба.

Используем теорему Пифагора для треугольника KNL:
\[KN^2 + NL^2 = KL^2\]
Поскольку у нас есть два равнобедренных треугольника, все стороны равны. Таким образом, \(KN^2 = NL^2 = x^2\).

Подставляем значения:
\[x^2 + x^2 = 10^2\]
\[2x^2 = 100\]
\[x^2 = 50\]
\[x = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.071 \text{ см}\]

Таким образом, длина каждой стороны ромба составляет примерно 7.071 см.