Яку відстань від площини а має середина відрізка АВ, якщо точки А і В знаходяться на відстанях 13 см і 25 см від цієї

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства средней линии треугольника.

Итак, пусть точка M -- середина отрезка AB, а точка O -- проекция точки М на плоскость а. Мы хотим найти расстояние от плоскости а до точки O.

Заметим, что треугольник MAO -- прямоугольный со сторонами MA и MO, и гипотенузой AO.

Используя теорему Пифагора, можем записать:

$$A{O}^2=M{A}^2+M{O}^2$$

Также, по определению средней линии треугольника, точка M делит отрезок AB пополам:

$$MA=\frac{AB}{2}$$

Теперь нам остается выразить значение MA и MO через известные длины AB, AO.

Мы знаем, что точка А находится на расстоянии 13 см от плоскости а, а точка В -- на расстоянии 25 см. Так как MA делит AB пополам, то MA равняется половине длины AB:

$$MA=\frac{AB}{2}=\frac{13\text{см}+25\text{см}}{2}=\frac{38\text{см}}{2}=19\text{см}$$

Теперь, используя выражение для AO из уравнения теоремы Пифагора, можем записать:

$$A{O}^2=(19\text{см}{)}^2+M{O}^2$$

Раскроем скобки и перенесем слагаемые на левую сторону:

$$A{O}^2-(19\text{см}{)}^2=M{O}^2$$

Вычислим значения в скобках:

$$A{O}^2-361{\text{см}}^2=M{O}^2$$

Теперь, обратимся к условию задачи. Оно говорит, что точки А и В находятся на расстояниях 13 см и 25 см от плоскости а соответственно. Таким образом, расстояние между этими точками равно 25 см - 13 см = 12 см.

Так как точка M -- середина отрезка AB, то MO равно половине этого расстояния:

$$MO=\frac{12\text{см}}{2}=6\text{см}$$

Теперь мы можем выразить значение AO, подставив известные значения в уравнение:

$$A{O}^2-361{\text{см}}^2=(6\text{см}{)}^2$$

Решим это уравнение:

$$A{O}^2-361{\text{см}}^2=36{\text{см}}^2$$

Прибавляем 361 \, \text{см}^2 к обеим сторонам уравнения:

$$A{O}^2=397{\text{см}}^2$$

Теперь извлечем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

$$AO=\sqrt{397{\text{см}}^2}\approx 19.92\text{см}$$

Итак, расстояние от плоскости а до точки O приближенно равно 19.92 см.