1. Какова длина окружности полученного сечения, если плоскость, проходящая через точку на сфере под углом

1. Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся следующим фактом: сечение сферы плоскостью всегда является окружностью. Таким образом, наша задача - найти длину окружности полученного сечения.

Для начала, давайте найдем радиус сферы. Мы знаем, что плоскость, проходящая через точку на сфере, образует угол 30 градусов с диаметром. Это значит, что у нас образовался прямоугольный треугольник, где один из углов равен 90 градусов, а второй - 30 градусов.

Теперь мы можем использовать свойство синуса для нахождения радиуса. Синус угла в треугольнике равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. В нашем случае противоположная сторона - это расстояние от центра сферы до плоскости (4√3 см), а гипотенуза - это радиус сферы, который нам и нужно найти.

Поэтому мы можем записать следующее соотношение:
$\sin ({30}^{\circ })=\frac{4\sqrt{3}}{R},$
где $R$ - радиус сферы.

Теперь решим это уравнение относительно $R$:
$R=\frac{4\sqrt{3}}{\sin ({30}^{\circ })}.$

После вычислений получим значение $R$.

Теперь, чтобы найти длину окружности полученного сечения, мы можем воспользоваться формулой для длины окружности:
$C=2\pi R$,
где $C$ - длина окружности, а $R$ - радиус сечения, который мы только что нашли.

Подставим значение $R$ в формулу и вычислим длину окружности $C$.

2. Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что такое радиус и площадь полной поверхности цилиндра.

Радиус цилиндра - это расстояние от центра окружности основания до оси цилиндра. Обозначим его как $r$.

Площадь полной поверхности цилиндра - это сумма площадей основания и боковой поверхности. Обозначим ее как $S$.

Мы знаем, что проведено сечение, параллельное оси цилиндра и в форме квадрата на расстоянии 6 см от оси. Если мы представим это сечение, то получим квадрат со стороной 6 см.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра, а следовательно, равна удвоенному радиусу $2r$.

Теперь давайте найдем радиус цилиндра. Мы знаем, что расстояние от центра квадрата до его вершины (высота квадрата) равно 6 см.

Далее, у нас есть прямоугольный треугольник, который образуется высотой квадрата и половиной стороны квадрата. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти радиус цилиндра.

Согласно теореме Пифагора, радиус в квадрате равен разности гипотенузы в квадрате и катета в квадрате:
$$r^2=(6^2-3^2)=36-9=27.$$

Теперь найдем радиус $r$ как квадратный корень из полученного значения:
$$r=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{см}.$$

Таким образом, радиус цилиндра равен $3\sqrt{3}$ см.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно сложить площадь двух оснований ($2\pi r^2$) и площадь боковой поверхности ($2\pi rh$), где $h$ - высота цилиндра. В нашем случае $h=16$ см.

Таким образом, формула для площади полной поверхности цилиндра будет следующей:
$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим значения и вычислим площадь полной поверхности цилиндра $S$.

3. Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что такое площадь осевого сечения и площадь полной поверхности усеченного конуса.

Площадь осевого сечения - это площадь фигуры, образованной пересечением плоскости и усеченного конуса через его ось.

Площадь полной поверхности усеченного конуса - это сумма площадей поверхностей его оснований и боковой поверхности.

Мы знаем, что у нас есть усеченный конус с радиусами большего основания, образующей и высоты 7 см, 5 см и 4 см соответственно.

Для начала, давайте найдем радиус меньшего основания усеченного конуса. Для этого мы можем воспользоваться подобием треугольников. Заметим, что у нас есть два прямоугольных треугольника, образованных радиусами большего основания, образующей и высоты усеченного конуса, и соответствующих сторон этих треугольников пропорциональны.

Следовательно, мы можем записать следующее соотношение:
$\frac{R_1}{R}=\frac{h_1}{h},$
где $R_1$ - радиус меньшего основания, $R$ - радиус большего основания, $h_1$ - высота меньшего конуса, $h$ - высота большего конуса.

Подставим известные значения и решим это уравнение относительно $R_1$.

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения усеченного конуса, мы можем воспользоваться формулой для площади круга:
$S=\pi R_1^2$.

Подставим значение $R_1$ в формулу и вычислим площадь осевого сечения.

Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, нам нужно сложить площади двух оснований ($\pi R_1^2+\pi R^2$) и площадь боковой поверхности ($\pi (R+R_1)l$), где $l$ - образующая усеченного конуса. Мы можем найти образующую, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусами большего и меньшего оснований и образующей усеченного конуса:
$l^2=(R-R_1{)}^2+h^2.$

Подставим значения и вычислим площадь полной поверхности усеченного конуса.

Таким образом, мы нашли площадь осевого сечения и площадь полной поверхности усеченного конуса.