1. Какова длина окружности полученного сечения, если плоскость, проходящая через точку на сфере под углом

1. Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся следующим фактом: сечение сферы плоскостью всегда является окружностью. Таким образом, наша задача - найти длину окружности полученного сечения.

Для начала, давайте найдем радиус сферы. Мы знаем, что плоскость, проходящая через точку на сфере, образует угол 30 градусов с диаметром. Это значит, что у нас образовался прямоугольный треугольник, где один из углов равен 90 градусов, а второй - 30 градусов.

Теперь мы можем использовать свойство синуса для нахождения радиуса. Синус угла в треугольнике равен отношению противоположной стороны к гипотенузе. В нашем случае противоположная сторона - это расстояние от центра сферы до плоскости (4√3 см), а гипотенуза - это радиус сферы, который нам и нужно найти.

Поэтому мы можем записать следующее соотношение:
\(\sin(30^\circ) = \frac{{4\sqrt{3}}}{{R}},\)
где \(R\) - радиус сферы.

Теперь решим это уравнение относительно \(R\):
\(R = \frac{{4\sqrt{3}}}{{\sin(30^\circ)}}.\)

После вычислений получим значение \(R\).

Теперь, чтобы найти длину окружности полученного сечения, мы можем воспользоваться формулой для длины окружности:
\(C = 2\pi R\),
где \(C\) - длина окружности, а \(R\) - радиус сечения, который мы только что нашли.

Подставим значение \(R\) в формулу и вычислим длину окружности \(C\).

2. Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что такое радиус и площадь полной поверхности цилиндра.

Радиус цилиндра - это расстояние от центра окружности основания до оси цилиндра. Обозначим его как \(r\).

Площадь полной поверхности цилиндра - это сумма площадей основания и боковой поверхности. Обозначим ее как \(S\).

Мы знаем, что проведено сечение, параллельное оси цилиндра и в форме квадрата на расстоянии 6 см от оси. Если мы представим это сечение, то получим квадрат со стороной 6 см.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что сторона квадрата равна диаметру основания цилиндра, а следовательно, равна удвоенному радиусу \(2r\).

Теперь давайте найдем радиус цилиндра. Мы знаем, что расстояние от центра квадрата до его вершины (высота квадрата) равно 6 см.

Далее, у нас есть прямоугольный треугольник, который образуется высотой квадрата и половиной стороны квадрата. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти радиус цилиндра.

Согласно теореме Пифагора, радиус в квадрате равен разности гипотенузы в квадрате и катета в квадрате:
\[r^2 = (6^2 - 3^2) = 36 - 9 = 27.\]

Теперь найдем радиус \(r\) как квадратный корень из полученного значения:
\[r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \ \text{см}.\]

Таким образом, радиус цилиндра равен \(3\sqrt{3}\) см.

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно сложить площадь двух оснований (\(2\pi r^2\)) и площадь боковой поверхности (\(2\pi rh\)), где \(h\) - высота цилиндра. В нашем случае \(h = 16\) см.

Таким образом, формула для площади полной поверхности цилиндра будет следующей:
\[S = 2\pi r^2 + 2\pi rh.\]

Подставим значения и вычислим площадь полной поверхности цилиндра \(S\).

3. Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что такое площадь осевого сечения и площадь полной поверхности усеченного конуса.

Площадь осевого сечения - это площадь фигуры, образованной пересечением плоскости и усеченного конуса через его ось.

Площадь полной поверхности усеченного конуса - это сумма площадей поверхностей его оснований и боковой поверхности.

Мы знаем, что у нас есть усеченный конус с радиусами большего основания, образующей и высоты 7 см, 5 см и 4 см соответственно.

Для начала, давайте найдем радиус меньшего основания усеченного конуса. Для этого мы можем воспользоваться подобием треугольников. Заметим, что у нас есть два прямоугольных треугольника, образованных радиусами большего основания, образующей и высоты усеченного конуса, и соответствующих сторон этих треугольников пропорциональны.

Следовательно, мы можем записать следующее соотношение:
\(\frac{{R_1}}{{R}} = \frac{{h_1}}{{h}},\)
где \(R_1\) - радиус меньшего основания, \(R\) - радиус большего основания, \(h_1\) - высота меньшего конуса, \(h\) - высота большего конуса.

Подставим известные значения и решим это уравнение относительно \(R_1\).

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения усеченного конуса, мы можем воспользоваться формулой для площади круга:
\(S = \pi R_1^2\).

Подставим значение \(R_1\) в формулу и вычислим площадь осевого сечения.

Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, нам нужно сложить площади двух оснований (\(\pi R_1^2 + \pi R^2\)) и площадь боковой поверхности (\(\pi(R + R_1)l\)), где \(l\) - образующая усеченного конуса. Мы можем найти образующую, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусами большего и меньшего оснований и образующей усеченного конуса:
\(l^2 = (R - R_1)^2 + h^2.\)

Подставим значения и вычислим площадь полной поверхности усеченного конуса.

Таким образом, мы нашли площадь осевого сечения и площадь полной поверхности усеченного конуса.