1) Какова длина образующей конуса, если радиус его основания составляет 2 см, а высота равна корню из 7 см? 2) Если

Задача 1:

Для нахождения длины образующей конуса, мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит о связи между радиусом основания конуса, высотой и длиной образующей.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, радиус основания конуса является одним из катетов, а высота - другим катетом. Длина образующей конуса будет гипотенузой.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[Длина\ образующей^2 = Радиус^2 + Высота^2\]

Вставляя значения, получим:

\[Длина\ образующей^2 = 2^2 + \sqrt{7}^2\]

\[Длина\ образующей^2 = 4 + 7\]

\[Длина\ образующей^2 = 11\]

Чтобы найти длину образующей, возьмем квадратный корень обеих сторон уравнения:

\[Длина\ образующей = \sqrt{11}\]

Таким образом, длина образующей конуса равна \(\sqrt{11}\) см.

Задача 2:

Для нахождения объема конуса, мы можем использовать формулу объема конуса:

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times Радиус^2 \times Высота\]

В данной задаче, известна образующая конуса и угол, который она образует с плоскостью основания. Мы можем выразить высоту конуса, используя следующую формулу:

\[Высота = Образующая \times \sin(\alpha)\]

Где \(\alpha\) - угол между образующей и плоскостью основания (в данном случае, 45 градусов).

Вставляя данную формулу в формулу объема конуса, получим:

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times Радиус^2 \times (Образующая \times \sin(\alpha))\]

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times (2\sqrt{2})^2 \times (2\sqrt{2} \times \sin(45^\circ))\]

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2})\]

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times (2\sqrt{2} \times 1)\]

\[Объем\ конуса = \frac{1}{3} \pi \times 8 \times 2\sqrt{2}\]

\[Объем\ конуса = \frac{16}{3} \pi \sqrt{2}\]

Таким образом, объем конуса равен \(\frac{16}{3} \pi \sqrt{2}\) кубических сантиметров.