1) Каков знаменатель прогрессии, если сумма первых 100 членов прогрессии в 5 раз превышает сумму квадратов первых

Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти знаменатель прогрессии, мы должны использовать данные об сумме первых 100 членов и сумме квадратов первых 50 членов процесса.

Обозначим знаменатель прогрессии как $q$.

Сумма первых 100 членов прогрессии может быть выражена следующим образом:

$$S_{100}=\frac{100}{2}\cdot (a_1+a_{100})=50\cdot (a_1+a_{100})$$

Где $a_1$ - первый член прогрессии, а $a_{100}$ - сто член прогрессии.

Сумма квадратов первых 50 членов прогрессии может быть записана так:

$$S_{50}=a_1^2+a_2^2+\dots +a_{50}^2$$

Мы знаем, что сумма первых 100 членов прогрессии в 5 раз превышает сумму квадратов первых 50 членов. То есть:

$$50\cdot (a_1+a_{100})=5\cdot (a_1^2+a_2^2+\dots +a_{50}^2)$$

Известно, что второй член прогрессии равен 18, поэтому $a_2=18$.

Теперь мы можем выразить $a_{100}$ через $a_1$ и $q$ (по определению прогрессии). Поскольку знаменатель - это постоянное увеличение от одного члена к другому, мы можем записать:

$$a_{100}=a_1+99q$$

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ($a_1$ и $q$). Давайте их решим.

Возвращаясь к уравнению:

$$50\cdot (a_1+a_{100})=5\cdot (a_1^2+a_2^2+\dots +a_{50}^2)$$

Подставим $a_{100}=a_1+99q$ и $a_2=18$:

$$50\cdot (a_1+a_1+99q)=5\cdot (a_1^2+{18}^2+\dots +a_{50}^2)$$

Приведем подобные члены:

$$100a_1+50\cdot 99q=5(a_1^2+{18}^2+\dots +a_{50}^2)$$

Теперь давайте разберемся со второй задачей.

2) Мы знаем пятый член прогрессии ($a_5$) и знаменатель ($q$). Чтобы найти сумму первых шести членов, мы можем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{n}{2}\cdot (a_1+a_n)$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, а $a_n$ - $n$-ый член прогрессии.

Мы хотим найти сумму первых шести членов, поэтому $n=6$. Пятый член прогрессии равен $a_5=\frac{3}{4}$, а знаменатель равен $q=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$$S_6=\frac{6}{2}\cdot (a_1+a_6)$$

Остается найти $a_6$. Это можно сделать, используя формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)q$$

Подставим значения:

$$a_6=a_1+(6-1)\cdot 2=a_1+10$$

Теперь мы можем записать сумму первых шести членов в терминах $a_1$ и $a_6$:

$$S_6=3\cdot (a_1+(a_1+10))=6a_1+30$$

Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии составляет $6a_1+30$.

Перейдем к третьей задаче.

3) Сумма первых четырех членов прогрессии с знаменателем $q=1.5$ составляет 65. Мы можем использовать формулу для суммы первых $n$ членов прогрессии, чтобы найти этот член. Формула выглядит следующим образом:

$$S_n=\frac{n}{2}\cdot (a_1+a_n)$$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, а $a_n$ - $n$-ый член прогрессии.

Мы знаем, что сумма первых четырех членов равна 65 и знаменатель равен 1.5. Подставив эти значения, получим:

$$65=\frac{4}{2}\cdot (a_1+a_4)$$

Теперь остается выразить $a_4$ через $a_1$ и $q$ (по определению прогрессии), используя формулу для $n$-го члена:

$$a_n=a_1+(n-1)q$$

В нашем случае $n=4$, $q=1.5$, поэтому:

$$a_4=a_1+(4-1)\cdot 1.5=a_1+3\cdot 1.5=a_1+4.5$$

Теперь мы можем записать уравнение и решить его:

$$65=2\cdot (a_1+a_1+4.5)$$

$$65=2\cdot (2a_1+4.5)$$

$$65=4a_1+9$$

$$56=4a_1$$

$$a_1=\frac{56}{4}=14$$

Таким образом, первый член прогрессии равен 14.

Надеюсь, это помогло! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.