1) Каков знаменатель прогрессии, если сумма первых 100 членов прогрессии в 5 раз превышает сумму квадратов первых

Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти знаменатель прогрессии, мы должны использовать данные об сумме первых 100 членов и сумме квадратов первых 50 членов процесса.

Обозначим знаменатель прогрессии как \(q\).

Сумма первых 100 членов прогрессии может быть выражена следующим образом:

\[
S_{100} = \frac{{100}}{{2}} \cdot (a_1 + a_{100}) = 50 \cdot (a_1 + a_{100})
\]

Где \(a_1\) - первый член прогрессии, а \(a_{100}\) - сто член прогрессии.

Сумма квадратов первых 50 членов прогрессии может быть записана так:

\[
S_{50} = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{50}^2
\]

Мы знаем, что сумма первых 100 членов прогрессии в 5 раз превышает сумму квадратов первых 50 членов. То есть:

\[
50 \cdot (a_1 + a_{100}) = 5 \cdot (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{50}^2)
\]

Известно, что второй член прогрессии равен 18, поэтому \(a_2 = 18\).

Теперь мы можем выразить \(a_{100}\) через \(a_1\) и \(q\) (по определению прогрессии). Поскольку знаменатель - это постоянное увеличение от одного члена к другому, мы можем записать:

\[
a_{100} = a_1 + 99q
\]

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(q\)). Давайте их решим.

Возвращаясь к уравнению:

\[
50 \cdot (a_1 + a_{100}) = 5 \cdot (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{50}^2)
\]

Подставим \(a_{100} = a_1 + 99q\) и \(a_2 = 18\):

\[
50 \cdot (a_1 + a_1 + 99q) = 5 \cdot (a_1^2 + 18^2 + \ldots + a_{50}^2)
\]

Приведем подобные члены:

\[
100a_1 + 50 \cdot 99q = 5(a_1^2 + 18^2 + \ldots + a_{50}^2)
\]

Теперь давайте разберемся со второй задачей.

2) Мы знаем пятый член прогрессии (\(a_5\)) и знаменатель (\(q\)). Чтобы найти сумму первых шести членов, мы можем использовать формулу для суммы членов арифметической прогрессии:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, а \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

Мы хотим найти сумму первых шести членов, поэтому \(n = 6\). Пятый член прогрессии равен \(a_5 = \frac{3}{4}\), а знаменатель равен \(q = 2\).

Подставим эти значения в формулу:

\[
S_6 = \frac{6}{2} \cdot \left(a_1 + a_6\right)
\]

Остается найти \(a_6\). Это можно сделать, используя формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[
a_n = a_1 + (n-1)q
\]

Подставим значения:

\[
a_6 = a_1 + (6-1) \cdot 2 = a_1 + 10
\]

Теперь мы можем записать сумму первых шести членов в терминах \(a_1\) и \(a_6\):

\[
S_6 = 3 \cdot \left(a_1 + (a_1 + 10)\right) = 6a_1 + 30
\]

Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии составляет \(6a_1 + 30\).

Перейдем к третьей задаче.

3) Сумма первых четырех членов прогрессии с знаменателем \(q = 1.5\) составляет 65. Мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов прогрессии, чтобы найти этот член. Формула выглядит следующим образом:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, а \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

Мы знаем, что сумма первых четырех членов равна 65 и знаменатель равен 1.5. Подставив эти значения, получим:

\[
65 = \frac{4}{2} \cdot (a_1 + a_4)
\]

Теперь остается выразить \(a_4\) через \(a_1\) и \(q\) (по определению прогрессии), используя формулу для \(n\)-го члена:

\[
a_n = a_1 + (n-1)q
\]

В нашем случае \(n = 4\), \(q = 1.5\), поэтому:

\[
a_4 = a_1 + (4-1) \cdot 1.5 = a_1 + 3 \cdot 1.5 = a_1 + 4.5
\]

Теперь мы можем записать уравнение и решить его:

\[
65 = 2 \cdot (a_1 + a_1 + 4.5)
\]

\[
65 = 2 \cdot (2a_1 + 4.5)
\]

\[
65 = 4a_1 + 9
\]

\[
56 = 4a_1
\]

\[
a_1 = \frac{56}{4} = 14
\]

Таким образом, первый член прогрессии равен 14.

Надеюсь, это помогло! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.