Как доказать взаимную простоту чисел 27x+4 и 18x+3 при любом натуральном x?
Луна
Дано два числа: \(27x+4\) и \(18x+3\). Чтобы доказать взаимную простоту этих чисел для любого натурального \(x\), мы можем воспользоваться свойством наибольшего общего делителя (НОД).
1. Сначала предположим, что у этих двух чисел существует общий делитель, больший единицы. Обозначим этот общий делитель как \(d\).
2. Теперь мы можем выразить данные числа через \(d\):
\[
27x+4 = d \cdot m_1, \quad 18x+3 = d \cdot m_2,
\]
где \(m_1\) и \(m_2\) - целые числа.
3. Выразим числа \(27x+4\) и \(18x+3\) через \(x\):
\[
27x+4 = 27x+4 \cdot 1, \quad 18x+3 = 18x+3 \cdot 1.
\]
4. Теперь проведем вычитание одного выражения из другого:
\[
(27x+4) - 2 \cdot (18x+3) = 27x+4 - 2 \cdot (18x+3) = 27x+4 - 36x - 6 = -9x-2.
\]
5. Мы видим, что полученное выражение - это линейная функция от \(x\). Если бы эти два числа были взаимно простыми, то любой общий делитель \(d\) должен был бы равняться единице. Однако, мы видим, что у полученного выражения в линейной части есть коэффициент, отличный от единицы, что означает, что любой общий делитель больше единицы.
6. Таким образом, доказано, что числа \(27x+4\) и \(18x+3\) взаимно просты при любом натуральном \(x\).
1. Сначала предположим, что у этих двух чисел существует общий делитель, больший единицы. Обозначим этот общий делитель как \(d\).
2. Теперь мы можем выразить данные числа через \(d\):
\[
27x+4 = d \cdot m_1, \quad 18x+3 = d \cdot m_2,
\]
где \(m_1\) и \(m_2\) - целые числа.
3. Выразим числа \(27x+4\) и \(18x+3\) через \(x\):
\[
27x+4 = 27x+4 \cdot 1, \quad 18x+3 = 18x+3 \cdot 1.
\]
4. Теперь проведем вычитание одного выражения из другого:
\[
(27x+4) - 2 \cdot (18x+3) = 27x+4 - 2 \cdot (18x+3) = 27x+4 - 36x - 6 = -9x-2.
\]
5. Мы видим, что полученное выражение - это линейная функция от \(x\). Если бы эти два числа были взаимно простыми, то любой общий делитель \(d\) должен был бы равняться единице. Однако, мы видим, что у полученного выражения в линейной части есть коэффициент, отличный от единицы, что означает, что любой общий делитель больше единицы.
6. Таким образом, доказано, что числа \(27x+4\) и \(18x+3\) взаимно просты при любом натуральном \(x\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
