Какие значения параметра p являются действительными и при которых уравнение sin^2*px/6+2(p-5)*cos*px/6-p^2+10p-25=0

Для начала рассмотрим данное уравнение более подробно. У нас есть уравнение вида:

${\sin }^2\left(\frac{px}{6}\right)+2(p-5)\cos \left(\frac{px}{6}\right)-p^2+10p-25=0$

Чтобы найти действительные значения параметра $p$, при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке $[10;20]$, нам потребуется проанализировать каждую его часть.

Для начала рассмотрим выражение ${\sin }^2\left(\frac{px}{6}\right)$. Чтобы это выражение имело смысл, его аргумент должен лежать в диапазоне от 0 до $\frac{\pi }{2}$. Так как у нас в аргументе присутствует $\frac{px}{6}$, то $p$ должно быть положительным числом.

Далее, обратим внимание на часть уравнения $\cos \left(\frac{px}{6}\right)$ и её коэффициент. Чтобы это выражение имело смысл, его аргумент также должен лежать в диапазоне от 0 до $\frac{\pi }{2}$. Рассмотрим два случая:

1. Если $p>5$: В этом случае, при $x=10$, аргумент $\frac{px}{6}>\frac{5}{2}\pi$, и функция $\cos \left(\frac{px}{6}\right)$ будет отрицательной. Так как у нас есть коэффициент $2(p-5)$, который должен быть положительным, параметр $p$ должен быть больше 5, чтобы часть уравнения $2(p-5)\cos \left(\frac{px}{6}\right)$ изменялась знак.

2. Если $p<5$: В этом случае, при $x=10$, аргумент $\frac{px}{6}<\frac{5}{2}\pi$, и функция $\cos \left(\frac{px}{6}\right)$ будет положительной. В этом случае, часть уравнения $2(p-5)\cos \left(\frac{px}{6}\right)$ будет всегда положительной, и нам не подходит.

Таким образом, значения параметра $p$ должны быть $p>5$, чтобы уравнение имело два различных корня на отрезке $[10;20]$.

Теперь рассмотрим вторую часть уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида:

$-p^2+10p-25=0$

Для того чтобы это квадратное уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D=b^2-4ac$, где в нашем случае $a=-1$, $b=10$ и $c=-25$. Подставим значения в формулу:

$D={10}^2-4(-1)(-25)$
$D=100-100$
$D=0$

Дискриминант $D$ равен 0. Это означает, что квадратное уравнение имеет только один корень. Таким образом, ни для какого значения параметра $p$ уравнение не будет иметь два различных корня на отрезке $[10;20]$.

Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, нет значений параметра $p$, при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке $[10;20]$.