Какие значения параметра p являются действительными и при которых уравнение sin^2*px/6+2(p-5)*cos*px/6-p^2+10p-25=0

Для начала рассмотрим данное уравнение более подробно. У нас есть уравнение вида:

\(\sin^2\left(\frac{px}{6}\right) + 2(p-5)\cos\left(\frac{px}{6}\right) - p^2 + 10p - 25 = 0\)

Чтобы найти действительные значения параметра \(p\), при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке \([10;20]\), нам потребуется проанализировать каждую его часть.

Для начала рассмотрим выражение \(\sin^2\left(\frac{px}{6}\right)\). Чтобы это выражение имело смысл, его аргумент должен лежать в диапазоне от 0 до \(\frac{\pi}{2}\). Так как у нас в аргументе присутствует \(\frac{px}{6}\), то \(p\) должно быть положительным числом.

Далее, обратим внимание на часть уравнения \(\cos\left(\frac{px}{6}\right)\) и её коэффициент. Чтобы это выражение имело смысл, его аргумент также должен лежать в диапазоне от 0 до \(\frac{\pi}{2}\). Рассмотрим два случая:

1. Если \(p > 5\): В этом случае, при \(x = 10\), аргумент \(\frac{px}{6} > \frac{5}{2}\pi\), и функция \(\cos\left(\frac{px}{6}\right)\) будет отрицательной. Так как у нас есть коэффициент \(2(p-5)\), который должен быть положительным, параметр \(p\) должен быть больше 5, чтобы часть уравнения \(2(p-5)\cos\left(\frac{px}{6}\right)\) изменялась знак.

2. Если \(p < 5\): В этом случае, при \(x = 10\), аргумент \(\frac{px}{6} < \frac{5}{2}\pi\), и функция \(\cos\left(\frac{px}{6}\right)\) будет положительной. В этом случае, часть уравнения \(2(p-5)\cos\left(\frac{px}{6}\right)\) будет всегда положительной, и нам не подходит.

Таким образом, значения параметра \(p\) должны быть \(p > 5\), чтобы уравнение имело два различных корня на отрезке \([10;20]\).

Теперь рассмотрим вторую часть уравнения. У нас есть квадратное уравнение вида:

\(-p^2 + 10p - 25 = 0\)

Для того чтобы это квадратное уравнение имело два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где в нашем случае \(a = -1\), \(b = 10\) и \(c = -25\). Подставим значения в формулу:

\(D = 10^2 - 4(-1)(-25)\)
\(D = 100 - 100\)
\(D = 0\)

Дискриминант \(D\) равен 0. Это означает, что квадратное уравнение имеет только один корень. Таким образом, ни для какого значения параметра \(p\) уравнение не будет иметь два различных корня на отрезке \([10;20]\).

Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, нет значений параметра \(p\), при которых уравнение имеет два различных корня на отрезке \([10;20]\).