1. Какое уравнение задает зависимость углового ускорения ε от времени t, если угол поворота φ(t) радиуса колеса

Sure! Let"s solve each problem step by step.

1. Для нахождения углового ускорения ε в момент времени t = 3 с, мы должны выразить угловое ускорение через формулу. У нас уже есть уравнение для угла поворота φ(t), которое задается уравнением φ(t) = 4 + 2t + t^2.

Чтобы найти угловое ускорение ε, мы должны продифференцировать это уравнение по времени дважды, так как угловое ускорение - это вторая производная угла поворота по времени.

Производная уравнения φ(t) по времени dφ/dt дает нам скорость поворота:

\[
\frac{{d\phi}}{{dt}} = 2t + 2
\]

Теперь мы найдем производную скорости поворота по времени, чтобы найти угловое ускорение:

\[
\frac{{d^2\phi}}{{dt^2}} = 2
\]

Таким образом, угловое ускорение ε равно 2 рад/с^2 в момент времени t = 3 с.

2. Чтобы найти скорость тела, брошенного под углом α = 30° к горизонту со скоростью v0 = 5 м/с, мы можем использовать следующие формулы из кинематики движения:

Горизонтальная скорость:
\(v_x = v_0 \cdot \cos(\alpha)\)

Вертикальная скорость:
\(v_y = v_0 \cdot \sin(\alpha)\)

Полная скорость:
\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

Таким образом, подставляя значения в формулы, получаем:

\(v_x = 5 \cdot \cos(30°)\)

\(v_y = 5 \cdot \sin(30°)\)

\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

3. Чтобы найти угловую скорость ω в момент времени t = 3 с, мы должны использовать формулу производной угла поворота по времени:

\(\omega = \frac{{d\phi}}{{dt}}\)

У нас уже есть уравнение для угла поворота φ(t), заданное уравнением φ(t) = 4 + 2t + t^2.

Будем дифференцировать это уравнение по времени, чтобы найти угловую скорость:

\(\omega = \frac{{d(4 + 2t + t^2)}}{{dt}}\)

\(\omega = \frac{{d(4)}}{{dt}} + \frac{{d(2t)}}{{dt}} + \frac{{d(t^2)}}{{dt}}\)

\(\omega = 0 + 2 + 2t\)

Таким образом, угловая скорость ω будет равна \(2 + 2t\) рад/с в момент времени t = 3 с.

4. Чтобы найти работу, выполненную действующей силой, используем формулу:

\(W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)\)

где F - сила, s - перемещение и \(\theta\) - угол между направлением силы и направлением перемещения.

В данном случае, если сила F = 5 Н и тело перемещается на расстояние s = 4 м вдоль прямой линии (т.е. угол \(\theta\) = 0°), работа W будет:

\(W = 5 \cdot 4 \cdot \cos(0°)\)

Учитывая, что \(\cos(0°) = 1\), получаем:

\(W = 5 \cdot 4 \cdot 1\)

\(W = 20\) Дж.

Надеюсь, эти объяснения и решения помогут вам лучше понять данные задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!