1. Какое расстояние пройдет материальная точка за 2 секунды от начала движения, если ее скорость задается формулой

1. Для нахождения расстояния, пройденного материальной точкой, используем формулу:
\[с= \int_{0}^{t}v(t)dt\]
где \(с\) - расстояние, \(v(t)\) - скорость в момент времени \(t\).

Подставим формулу для скорости \(v(t) = 2t^3 - 4t^2 + 2\) в интеграл:
\[с= \int_{0}^{2}(2t^3 - 4t^2 + 2)dt\]

Вычислим интеграл:
\[с = \left[ \frac{1}{2} t^4 - \frac{4}{3} t^3 + 2t \right]_{0}^{2}\]
\[с = \frac{1}{2} \cdot 2^4 - \frac{4}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - \left( \frac{1}{2} \cdot 0^4 - \frac{4}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0 \right)\]

Упростим выражение:
\[с = 8 - \frac{32}{3} + 4 - 0\]
\[с = \frac{24}{3} - \frac{32}{3} + 4\]
\[с = \frac{-8}{3} + \frac{12}{3} + \frac{12}{3}\]
\[с = \frac{16}{3}\]

Таким образом, материальная точка пройдет расстояние \( \frac{16}{3} \) за 2 секунды.

2. Для нахождения пути, пройденного точкой в заданный промежуток времени, также используем формулу:
\[с= \int_{a}^{b}v(t)dt\]
где \(с\) - путь, \(v(t)\) - скорость в момент времени \(t\), \(a\) и \(b\) - начальная и конечная точки промежутка.

Подставим формулу для скорости \(v(t) = 2 + \frac{1}{\sqrt{t+2}}\) в интеграл:
\[с= \int_{2}^{7}\left( 2 + \frac{1}{\sqrt{t+2}} \right) dt\]

Вычислим интеграл:
\[с= \left[ 2t + 2 \sqrt{t+2} \right]_{2}^{7}\]
\[с= (2 \cdot 7 + 2 \sqrt{7+2}) - (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2+2})\]
\[с= 14 + 2 \sqrt{9} - 4 - 2 \sqrt{4}\]
\[с= 14 + 2 \cdot 3 - 4 - 2 \cdot 2\]
\[с= 14 + 6 - 4 - 4\]
\[с= 20 - 8\]
\[с= 12\]

Таким образом, точка пройдет путь равный 12 за время от 2 до 7 секунд.

3. Чтобы найти путь, пройденный точкой от начала движения до остановки, необходимо вычислить площадь под графиком скорости.

Так как скорость точки задается уравнением \(v=24t-6t^2\), то путь будет равен интегралу от этой функции:
\[с= \int_{0}^{t}(24t-6t^2)dt\]

Вычислим интеграл:
\[с= \left[ 12t^2 - 2t^3 \right]_{0}^{t}\]
\[с= 12t^2 - 2t^3 - (12 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0^3)\]
\[с= 12t^2 - 2t^3\]

Таким образом, путь пройденный точкой равен \(12t^2 - 2t^3\) от начала движения до остановки.

4. Работа при сжатии пружины определяется формулой:
\[A = \frac{1}{2} k x^{2}\]
где \(A\) - работа, \(k\) - коэффициент упругости пружины, \(x\) - величина сжатия пружины.

Дано, что для растяжения пружины на 1 сантиметр требуется сила в 10 Н. Это позволяет нам найти значение \(k\):
\[F = kx\]
\[10\,Н = k \cdot 0.01\,м\]

Решим уравнение относительно \(k\):
\[k = \frac{10\,Н}{0.01\,м}\]
\[k = 1000\,Н/м\]

Теперь, используя значение \(k\) и величину сжатия \(x = 6\,см = 0.06\,м\), найдем работу:
\[A = \frac{1}{2} \cdot 1000\,Н/м \cdot (0.06\,м)^2\]

Вычислим:
\[A = \frac{1}{2} \cdot 1000\,Н/м \cdot 0.0036\,м^2\]
\[A = 0.5 \cdot 1000\,Н \cdot 0.0036\]
\[A = 500\,Н \cdot 0.0036\]
\[A = 1.8\,Дж\]

Таким образом, при сжатии пружины на 6 сантиметров, будет выполнено работа в размере 1.8 Дж.

5. Линейная плотность неоднородного стержня изменяется в зависимости от его массы и длины. Изменение плотности вдоль стержня можно представить через градиент функции плотности.

Для неоднородного стержня плотность \( \rho \) может быть задана функцией \( \rho(x) \), где \( x \) - координата точки на стержне.

Изменение линейной плотности \( \delta \rho \) на небольшом участке стержня длиной \( \delta x \) будет равно градиенту функции плотности \( \delta \rho = \frac{{\partial \rho}}{{\partial x}} \delta x \).

Таким образом, изменение линейной плотности неоднородного стержня зависит от производной функции плотности по координате и длины участка стержня.