1) Какое будет уменьшение площади боковой поверхности пятиугольной пирамиды, если все ребра уменьшить в два раза

1) Для начала, определим формулу для вычисления площади боковой поверхности пятиугольной пирамиды. Пусть \(P\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(a\) - длина ребра пирамиды. Для пятиугольной пирамиды верна формула:

\[P = \frac{5}{4} \cdot a \cdot s\]

где \(s\) - длина стороны пятиугольника на основании пирамиды. В данном случае \(s\) неизвестно, поэтому воспользуемся соотношением между сторонами пятиугольников, чтобы найти \(s\).

Пусть \(S\) - площадь исходной боковой поверхности пирамиды, \(S"\) - площадь боковой поверхности уменьшенной пирамиды. Мы знаем, что площадь уменьшенной пирамиды будет равна половине площади исходной, так как все ребра уменьшились в два раза:

\[S" = \frac{1}{2} \cdot S\]

Также, по формуле для площади боковой поверхности пирамиды, зная, что уменьшение ребер в два раза приводит к уменьшению стороны пятиугольника в два раза, можно записать:

\[S" = \frac{5}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot s"\]

где \(s"\) - длина стороны уменьшенного пятиугольника.

Сравнивая два равенства для \(S"\), можно прийти к соотношению между \(s\) и \(s"\):

\[\frac{5}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot s" = \frac{1}{2} \cdot S \Rightarrow s" = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{a} \cdot S\]

Теперь мы можем найти площадь уменьшенной боковой поверхности пирамиды, подставив значения:

\[S" = \frac{5}{4} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{a} \cdot S = \frac{1}{4} \cdot S\]

Таким образом, площадь уменьшенной боковой поверхности пирамиды будет равна четверти исходной площади.

2) Для нахождения площади поверхности правильной четырёхугольной пирамиды \(P ABCD\), мы можем воспользоваться формулой, зависящей от основания и высоты пирамиды. Зная сторону основания (\(s\)) и высоту пирамиды (\(h\)), площадь поверхности (\(P\)) можно вычислить по формуле:

\[P = s^2 + 2 \cdot s \cdot h\]

В данном случае, у нас правильная четырехугольная пирамида, то есть основание является квадратом. Значит \(s\) будет равно длине стороны квадрата основания. Однако, необходимо знать значение высоты пирамиды (\(h\)). Для ее нахождения, не хватает дополнительной информации. Если вы сможете предоставить дополнительные данные, я смогу вычислить площадь поверхности пирамиды.

3) Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды \(PABC\) нужно знать длину боковых ребер и высоту пирамиды. Так как в задаче указано, что пирамида является правильной треугольной пирамидой с вершиной \(P\), где боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны 6, мы можем воспользоваться формулой для площади боковой поверхности:

\[P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l\]

где \(p\) - периметр основания (равен тройному длине ребра в данной пирамиде), а \(l\) - высота пирамиды.

Так как в данной задаче боковые ребра равны 6, периметр основания будет равен \(2 \cdot 6 + 6 = 18\). Также нам известно, что в правильной треугольной пирамиде высота перпендикулярна к основанию и проходит через его центр, поэтому высота будет проходить по середине основания и разделять его на две равные части. Зная сторону основания, можно вычислить высоту треугольника по формуле:

\[l = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s\]

где \(s\) - сторона основания треугольника.

Если мы запишем значения \(s\) и \(p\) в формулу для площади боковой поверхности, получим:

\[P = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s = 9 \sqrt{3} \cdot s\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды будет равна \(9 \sqrt{3}\) умножить на сторону основания.

Теперь, чтобы найти площадь основания пирамиды \(PABC\), нам необходимо знать длину стороны основания. Если вы сможете предоставить значение стороны основания, я смогу вычислить площадь основания пирамиды.