Каково соотношение объемов шара и вписанного цилиндра?

Чтобы определить соотношение объемов шара и вписанного цилиндра, нам необходимо вначале выяснить, какие формулы связывают эти две фигуры.

Предположим, что радиус шара равен \(r\), а высота цилиндра равна \(h\).

Объем шара определяется формулой:

\[
V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

Объем вписанного цилиндра равен произведению площади основания цилиндра на его высоту. Основание цилиндра - это круг радиусом \(r\), поэтому его площадь равна:

\[
S_{\text{основания}} = \pi r^2
\]

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, мы можем использовать следующую формулу:

\[
V_{\text{цилиндра}} = S_{\text{основания}} \cdot h = \pi r^2 \cdot h
\]

Итак, у нас есть формулы для объема шара и вписанного цилиндра. Сейчас мы можем определить их соотношение.

Для этого необходимо разделить объем шара на объем цилиндра:

\[
\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{цилиндра}}} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2 \cdot h}
\]

Здесь заметим, что \(\pi\) - это математическая константа, которая является отношением длины окружности к ее диаметру, и ее можно сократить в обоих числителе и знаменателе.

Также заметим, что \(r\) - радиус шара является общим множителем в числителе и знаменателе, и он также может быть сокращен:

\[
\frac{\frac{4}{3} r^3}{r^2 \cdot h}
\]

Сокращая \(r\), мы получаем:

\[
\frac{\frac{4}{3} r^{\cancel{3}}}{r^{\cancel{2}} \cdot h} = \frac{4}{3r} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{r}
\]

Таким образом, соотношение объемов шара и вписанного цилиндра равно \(\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{r}\).

Обратите внимание, что это соотношение зависит только от радиуса шара и не зависит от высоты цилиндра.