Какова площадь полной поверхности вправильной четырехугольной усеченной пирамиды с длинами сторон оснований 5 см

Чтобы найти площадь полной поверхности вправильной четырехугольной усеченной пирамиды, нам нужно сложить площадь оснований и площадь боковой поверхности.

Площадь основания можно найти как произведение полупериметра основания и радиуса описанной окружности. У нас есть два основания с длинами сторон 5 см и 15 см, поэтому для каждого основания полупериметр будет равен полусумме длин сторон, то есть \( \frac{{5 + 15}}{2} = 10 \) см.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся теоремой Пифагора. Поскольку у нас имеется четырехугольник со сторонами 5 см, 15 см, \( \frac{{15 - 5}}{2} = 5 \) см и \( \frac{{15 + 5}}{2} = 10 \) см, мы можем найти длину диагонали основания по формуле \( \sqrt{{a^2 + b^2}} \), где a и b - длины сторон треугольника. Подставляя значения, получаем \( \sqrt{{5^2 + 10^2}} = \sqrt{{125}} = 5\sqrt{{5}} \) см.

Теперь, когда у нас есть полупериметр основания и радиус описанной окружности, мы можем найти площадь одного из оснований по формуле \( S = \pi r^2 \), где r - радиус описанной окружности. Подставляем значения и получаем \( S_1 = \pi (5\sqrt{{5}})^2 = 25\pi \cdot 5 = 125\pi \) см².

Площадь диагонального сечения пирамиды составляет 120√2 см², и это является основанием верхней части пирамиды. Чтобы найти площадь верхнего основания, мы можем использовать формулу для площади треугольника, так как диагональное сечение является равносторонним треугольником. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле \( S = \frac{{a^2 \sqrt{{3}}}}{4} \), где a - длина стороны треугольника. Подставляя значения, получаем \( S_2 = \frac{{(120\sqrt{{2}})^2 \sqrt{{3}}}}{4} = \frac{{14400 \cdot 2 \sqrt{{3}}}}{4} = 7200\sqrt{{3}} \) см².

Наконец, нам нужно найти площадь боковой поверхности. Для этого мы можем использовать формулу площади боковой поверхности пирамиды, которая равна полупериметру каждой из сторон основания, умноженному на высоту пирамиды. Поскольку у нас вправильная пирамида, высота будет равна расстоянию от вершины пирамиды до центра основания. Для нас это высота равностороннего треугольника, которую можно найти по формуле \( h = \frac{{a\sqrt{{3}}}}{2} \), где a - длина стороны треугольника. Подставляем значения и получаем \( h = \frac{{120\sqrt{{2}} \sqrt{{3}}}}{2} = 60\sqrt{{6}} \) см.

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, подставляя значения в формулу: \( S_{\text{бок}} = 4 \times \frac{{a_1 + a_2}}{2} \times h \), где \( a_1 \) и \( a_2 \) - длины оснований, а h - высота. Таким образом, \( S_{\text{бок}} = 4 \times \frac{{5 + 15}}{2} \times 60\sqrt{{6}} = 20 \times 60\sqrt{{6}} = 1200\sqrt{{6}} \) см².

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности, складывая площадь оснований и площадь боковой поверхности:
\[ S_{\text{полн}} = 2 \times S_1 + S_{\text{бок}} = 2 \times 125\pi + 1200\sqrt{{6}} = 250\pi + 1200\sqrt{{6}} \approx 3922.94 \] см² (округленно до двух десятичных знаков).

Таким образом, площадь полной поверхности вправильной четырехугольной усеченной пирамиды, с длинами сторон оснований 5 см и 15 см, при условии, что площадь диагонального сечения пирамиды составляет 120√2 см², примерно равна 3922.94 см².