1) Каким должно быть отношение теплоёмкости кастрюли к теплоёмкости воды в первом случае, чтобы вода довелась

Для начала, давайте разберемся в терминологии. Теплоемкость - это количество теплоты, необходимое для нагрева или охлаждения вещества на 1 градус Цельсия.

Пусть масса кастрюли равна \(m_1\), масса воды в первом случае равна \(m_2\), а ее начальная и конечная температуры равны \(T_{\text{нач}}\) и \(T_{\text{кон}}\) соответственно. Тогда тепло, которое нужно сообщить воде, чтобы она довелась до кипения за 2 минуты, можно определить по следующей формуле:

\[
Q_1 = c_2 \cdot m_2 \cdot \Delta T_1
\]

где \(Q_1\) - тепло, \(c_2\) - теплоемкость воды, \(\Delta T_1\) - изменение температуры воды. Также известно, что \(\Delta T_1 = T_{\text{кон}} - T_{\text{нач}}\) и \(T_{\text{кон}} = 100^\circ \, \text{C}\), так как вода должна довестись до кипения.

Аналогично, во втором случае:

\[
Q_2 = c_1 \cdot m_2 \cdot \Delta T_2
\]

где \(Q_2\) - тепло, \(c_1\) - теплоемкость кастрюли, \(\Delta T_2 = T_{\text{кон}} - T_{\text{нач}}\) - изменение температуры воды.

Мы знаем, что во втором случае вода закипает за 3 минуты на той же плитке, что и в первом случае, поэтому количество теплоты удвоилось:

\[
Q_2 = 2 \cdot Q_1
\]

Теперь мы можем выразить теплоемкость кастрюли \(c_1\) через теплоемкость воды \(c_2\):

\[
c_1 = 2 \cdot c_2
\]

Отношение теплоемкости кастрюли к теплоемкости воды составляет 2:1.

Ответ: Отношение теплоемкости кастрюли к теплоемкости воды в первом случае должно быть 2:1.