1. Какие значения углов правильного тридцатиугольника? 2. Какая площадь круга, который описан около квадрата

1. Правильный тридцатиугольник состоит из 30 равных углов. Чтобы найти значения углов, нужно разделить 360 градусов на количество углов в треугольнике. В данном случае: \( \frac{360}{30} = 12 \) градусов.

2. Чтобы найти площадь круга, описанного около квадрата, нужно знать длину стороны квадрата, так как она будет являться диаметром круга. В данной задаче сторона квадрата равна 16 см, следовательно, диаметр круга равен 16 см. Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. В данном случае радиус круга равен половине диаметра (\(r = \frac{16}{2} = 8\) см). Подставляя значения в формулу, мы получаем: \(S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\) см².

3. Длина стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, описанную вокруг квадрата, можно найти, зная радиус окружности. В данной задаче сторона квадрата равна 36 см, следовательно, диаметр окружности также равен 36 см. Радиус окружности будет половиной длины диаметра (\(r = \frac{36}{2} = 18\) см). Длина стороны правильного треугольника будет равна диаметру окружности (\(d\)). Формула для нахождения длины стороны треугольника: \(d = 2r\). Подставляя значения, находим: \(d = 2 \cdot 18 = 36\) см.

4. Чтобы найти радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, нужно знать длину его стороны. В данной задаче сторона многоугольника равна \(8\sqrt{3}\) см. Формула для радиуса окружности, описанной вокруг правильного многоугольника: \(r = \frac{s}{2 \sin(\frac{180}{n})}\), где \(s\) - длина стороны многоугольника, \(n\) - количество его сторон. Подставляя значения, имеем: \(r = \frac{8\sqrt{3}}{2 \sin(\frac{180}{n})}\). Количество сторон многоугольника можно найти, зная, что в сумме углов внутри многоугольника равна \(180(n-2)\) градусов, где \(n\) - количество сторон. Так как у правильного многоугольника все углы равны, каждый угол будет составлять \(\frac{180(n-2)}{n}\) градусов. В данной задаче угол многоугольника равен \(360/n\), т.к. количество углов правильного многоугольника равно количеству его сторон. Составим уравнение: \(\frac{180(n-2)}{n} = \frac{360}{n}\). Решив его, мы найдем \(n = 6\). Следовательно, количество сторон у многоугольника равно 6. Подставляя значения, находим: \(r = \frac{8\sqrt{3}}{2 \sin(\frac{180}{6})} = 4\sqrt{3}\) см.

5. Длина дуги, на которую делится окружность, описанная вокруг треугольника, можно найти, зная радиус окружности и угол, на который она делится. В данной задаче радиус окружности равен диаметру треугольника (\(d\)). Формула для нахождения длины дуги: \(l = \frac{r \cdot \theta}{180} \cdot \pi\), где \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - угол, на которую делится дуга в градусах. Подставляя значения, получаем: \(l = \frac{(10\sqrt{3}) \cdot (10 + 50)}{180} \cdot \pi = \frac{600\sqrt{3}}{180} \cdot \pi = \frac{10\sqrt{3}}{3} \pi\) см.