Каков периметр правильного пятиугольника, который описан около окружности с периметром

Для начала, давайте разберем, что значит "правильный пятиугольник". Правильный пятиугольник – это пятиугольник, все стороны и углы которого равны.

Прежде чем рассчитывать периметр правильного пятиугольника, нужно найти длину одной из его сторон. Для этого воспользуемся формулой, связывающей радиус окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, с длиной его стороны.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного пятиугольника, является радиусом описанной окружности. Также, радиус описанной окружности является радиусом правильного пятиугольника.

Формула, связывающая радиус описанной окружности и длину стороны правильного пятиугольника, имеет следующий вид:

\[r = \frac{s}{2 \cdot \sin{\frac{\pi}{5}}}\]

где \(r\) – радиус описанной окружности, \(s\) – сторона правильного пятиугольника, \(\pi\) – математическая константа, равная примерно 3,14159, и \(\sin{\frac{\pi}{5}}\) – синус угла, равного одной пятой прямого угла (пятиугольник имеет пять углов, и каждый из них равен 180 градусам, деленным на 5).

Теперь, когда у нас есть радиус описанной окружности, мы можем найти длину одной из сторон правильного пятиугольника. Для этого нужно умножить радиус на 2 и на синус угла, равного одной пятой прямого угла ( \(\sin{\frac{\pi}{5}}\)).

Теперь мы можем рассчитать периметр правильного пятиугольника, умножив длину стороны на 5 (потому что пятиугольник имеет 5 сторон):

\[P = 5s\]

Таким образом, периметр правильного пятиугольника, описанного около окружности с периметром \(P_{\text{окружности}}\), равен:

\[P = 5 \cdot \left(2 \cdot r \cdot \sin{\frac{\pi}{5}}\right)\]

Итак, первым шагом мы найдем радиус описанной окружности, используя периметр окружности (\(P_{\text{окружности}}\)):

\[r = \frac{P_{\text{окружности}}}{2\pi}\]

Затем, подставим значение радиуса в формулу периметра:

\[P = 5 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{P_{\text{окружности}}}{2\pi}\right)\cdot \sin{\frac{\pi}{5}}\right)\]

Это и будет итоговым ответом на задачу. Не забудьте подставить значение \(P_{\text{окружности}}\) в формулу, чтобы получить точное численное значение периметра правильного пятиугольника.