1. Какая из указанных точек является частью плоскости XOY: а) A (3; 7;-5); в) C (3;0; 5); б) B (2;-2;0); г) D (0;-1;2

1. Чтобы определить, какая из указанных точек является частью плоскости XOY, нужно проверить, удовлетворяют ли координаты точки уравнению плоскости XOY. Уравнение плоскости XOY имеет вид z = 0.

Найдем значение z для каждой из точек:
a) A (3; 7;-5) - z = -5, не равно 0
б) B (2;-2;0) - z = 0, равно 0
в) C (3;0; 5) - z = 5, не равно 0
г) D (0;-1;2) - z = 2, не равно 0

Только у точки B значение z равно 0, поэтому только точка B (2;-2;0) является частью плоскости XOY.

2. Чтобы найти точку B на отрезке AM, можно использовать параметрическое представление отрезка. Параметрическое уравнение отрезка AM имеет вид:
\[B = A + t \cdot (M - A)\]
где t - параметр, принимающий значения от 0 до 1.

Найдем значения координат точки B для каждого из предложенных вариантов:
а) B(6;0;-2) - подставляем t = 2 в параметрическое уравнение, получаем B = (4;-6;2), не равно B
б) B(1;-3;-2) - подставляем t = -1 в параметрическое уравнение, получаем B = (5;-3;0), равно B
в) B(7;-6;1) - подставляем t = 3 в параметрическое уравнение, получаем B = (4;-6;2), не равно B

Только точка B(1;-3;-2) соответствует условию.

3. Для решения этой задачи нам понадобится нахождение площади проекции равностороннего треугольника на плоскость.

Площадь проекции на плоскость можно найти, умножив площадь самого треугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью самого треугольника. Угол между плоскостью проекции и плоскостью треугольника составляет 60 градусов, что соответствует косинусу 0.5.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
где a - длина стороны треугольника.

Подставляя значения, получим:
\[S_{проекции} = S \cdot \cos(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 \cdot 0.5 = \frac{9 \cdot \sqrt{3}}{8}\]

Ответ: площадь проекции этого треугольника на плоскость составляет \(\frac{9}{8}\) см².

4. Чтобы решить эту задачу, нужно найти уравнение плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через заданную точку.

Уравнение плоскости общего вида имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\). Зная нормаль плоскости и координаты одной точки на плоскости, можно найти коэффициенты A, B, C и D.

Для данной задачи у нас есть нормаль и точка, поэтому можем просто подставить их значения в уравнение:
\[A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D = 0\]
\[A \cdot x + B \cdot y + C \cdot (-8) + D = 0\]

Зная нормаль (1, 1, 2) и точку (-1, 2, -8), можем найти уравнение плоскости:
\[1 \cdot x + 1 \cdot y + 2 \cdot (-8) + D = 0\]
\[x + y - 16 + D = 0\]

Теперь найдем расстояние от данной точки (6, -2, 3) до плоскости. Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:
\[d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Подставляя значения, получим:
\[d = \frac{|1 \cdot 6 + 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + D|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}}\]

Однако, для решения этой задачи требуется дополнительная информация, прежде чем можно будет продолжить вычисления. Пожалуйста, предоставьте недостающие данные.