1. Как записать уравнение прямой, заданное уравнением x-1/1 = y-2/-5? 2. Как записать уравнение прямой, проходящей

Хорошо, давайте по порядку решим каждую задачу:

1. Для начала сделаем замену переменных: пусть \(u = x - 1\) и \(v = y - 2\). Тогда уравнение \(x - \frac{1}{1} = y - \frac{2}{-5}\) можно записать так: \(u = v \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)\). Вернемся к исходным переменным и получим уравнение исходной прямой: \(x - 1 = (y - 2) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)\).

2. Чтобы определить уравнение прямой, проходящей через точку \(M(2; 1)\) под углом 45°, мы можем использовать следующую формулу: \(\tan(\theta) = k\), где \(\theta\) - угол наклона и \(k\) - коэффициент наклона прямой.

Угол 45° в радианах равен \(\frac{\pi}{4}\), а так как мы хотим найти уравнение прямой, проходящей через точку \(M(2; 1)\), подставим координаты точки в уравнение прямой. Таким образом, получаем \(1 = 2 \cdot k\), откуда \(k = \frac{1}{2}\).

Теперь, используя уравнение наклона и координаты точки \(M(2; 1)\), получим окончательное уравнение прямой: \(y - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)\).

3. Тут также воспользуемся заменой переменных. Пусть \(u = x/1\) и \(v = y/-5\). Тогда уравнение \(x/1 + y/-5 = 1\) перепишется как \(u + v = 1\). Возвращаясь к исходным переменным, получаем уравнение исходной прямой: \(x + y = -5\).

4. В данной задаче даны точка \(M(2; 1)\) и нормаль \(n(1; 3)\). Нормаль является перпендикуляром к искомой прямой.

Эффективный способ найти уравнение перпендикулярной прямой - использовать свойство, согласно которому произведение коэффициентов наклона двух перпендикулярных прямых равно -1.

Найдем угол наклона искомой прямой, используя нормаль \(n(1; 3)\). Коэффициент наклона нормали равен \(k = \frac{3}{1}\), и уравнение прямой, проходящей через точку \(M(2; 1)\) и имеющей наклон \(k\), можно записать как \(y - 1 = k(x - 2)\), что приводит нас к уравнению \(y - 1 = 3(x - 2)\).

Теперь рассмотрим другие вопросы:

a. Уравнение прямой \(3y = -x\) уже дано.

b. Уравнение прямой \(5x + y = 2\) уже дано.

c. Чтобы записать уравнение биссектрисы первой и третьей четверти, нужно найти среднюю линию между осью \(x\) и осью \(y\). Так как биссектриса делит угол между положительной полуосью \(x\) и положительной полуосью \(y\) пополам, угол между биссектрисой и положительной полуосью \(x\) равен \(45^\circ\).

Угол \(45^\circ\) в радианах равен \(\frac{\pi}{4}\). Чтобы записать уравнение биссектрисы в общем виде, используем формулу \(\tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = k\), где \(k\) - коэффициент наклона биссектрисы.

d. Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через точки \(A(-1; 0)\) и \(B(0; 5)\), нужно сначала найти коэффициент наклона этой прямой. Коэффициент наклона \(k\) определяется как \(\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек \(A\) и \(B\) соответственно.

Подставив значения точек \(A(-1; 0)\) и \(B(0; 5)\) в формулу получим \(k = \frac{{5 - 0}}{{0 - (-1)}} = \frac{5}{1} = 5\).

Используя найденный коэффициент наклона и одну из заданных точек \(A(-1; 0)\), получим итоговое уравнение прямой: \(y - 0 = 5(x + 1)\).

Теперь рассмотрим пары параллельных прямых:

Прямые являются параллельными, если их коэффициенты наклона равны. Исходя из этого, можно сравнить коэффициенты наклона прямых найденных в пунктах a и b:

a. Уравнение прямой \(3y = -x\) имеет коэффициент наклона \(-\frac{1}{3}\).

b. Уравнение прямой \(5x + y = 2\) имеет коэффициент наклона \(-5\).

Сравнивая эти значения, можно сделать вывод, что прямые a и b не параллельны, так как их коэффициенты наклона не равны.

Надеюсь, ответы были полезны и понятны! Если остались еще вопросы, пожалуйста, продолжайте задавать.