Алгебра 10 класс. Контрольная работа №2. Тема: Вычисление производных. Вариант 1. 1. Подсчитайте производные

1. Решение:

а) Для данной функции f(x) = 6x^10-1 используем правило производной для степенной функции и правило производной для константы:

f"(x) = 10⋅6x^(10-1)⋅1 = 60x^9

б) Для данной функции f(x) = 12x^7 + 17x^3 используем правило производной для суммы мономов:

f"(x) = 7⋅12x^(7-1) + 3⋅17x^(3-1) = 84x^6 + 51x^2

в) Для данной функции f(x) = 11x^6 + 5x - 24 - 2x^3 используем правило производной для суммы и разности мономов:

f"(x) = 6⋅11x^(6-1) + 1⋅5 - 3⋅2x^(3-1) = 66x^5 + 5 - 6x^2

г) Для данной функции f(x) = (3x-14)⋅(3x^2 + 5) используем правило производной для произведения функций:

f"(x) = (3x^2 + 5)⋅d/dx(3x-14) + (3x-14)⋅d/dx(3x^2 + 5)

Посчитаем производные двух компонентов и подставим их в выражение:

d/dx(3x-14) = 3
d/dx(3x^2 + 5) = 6x

Теперь можем вычислить производную:

f"(x) = (3x^2 + 5)⋅3 + (3x-14)⋅6x
= 9x^2 + 15 + 18x^2 - 84x
= 27x^2 - 84x + 15

д) Для данной функции f(x) = -3sin(5x-6) + 12x^2 используем правило производной для суммы и правило производной для синуса:

f"(x) = d/dx(-3sin(5x-6)) + d/dx(12x^2)
= -3⋅d/dx(sin(5x-6)) + d/dx(12x^2)

d/dx(sin(5x-6)) = 5⋅cos(5x-6) (производная синуса)
d/dx(12x^2) = 24x (производная монома)

Теперь можем вычислить производную:

f"(x) = -3⋅5⋅cos(5x-6) + 24x
= -15⋅cos(5x-6) + 24x

е), ж), з) Не могу рассчитать производные для файлов формата .gif. Пожалуйста, уточните, что именно требуется рассчитать в этих случаях.

2. Решение:

а) Для данной функции f(x) = (3x-2)^7 используем правило производной для семи слагаемых:

f"(x) = 7⋅(3x-2)^(7-1)⋅d/dx(3x-2)

Для d/dx(3x-2) применяем правило производной для линейной функции:

d/dx(3x-2) = 3

Подставим:

f"(x) = 7⋅(3x-2)^(7-1)⋅3
= 21⋅(3x-2)^6

Теперь найдем значения производной при x = 1 и x = 0:

f"(1) = 21⋅(3⋅1-2)^6
= 21⋅(3-2)^6
= 21⋅1^6
= 21

f"(0) = 21⋅(3⋅0-2)^6
= 21⋅(-2)^6
= 21⋅64
= 1344

б) Для данной функции f(x) = (6-4x)^11 используем правило производной для одного слагаемого:

f"(x) = 11⋅(6-4x)^(11-1)⋅d/dx(6-4x)

Для d/dx(6-4x) применяем правило производной для линейной функции:

d/dx(6-4x) = -4

Подставим:

f"(x) = 11⋅(6-4x)^(11-1)⋅(-4)
= -44⋅(6-4x)^10

Теперь найдем значения производной при x = 1 и x = 0:

f"(1) = -44⋅(6-4⋅1)^10
= -44⋅(6-4)^10
= -44⋅2^10
= -44⋅1024
= -45056

f"(0) = -44⋅(6-4⋅0)^10
= -44⋅(6-0)^10
= -44⋅6^10
= -44⋅60466176
= -2662277376

в) Не могу рассчитать производную для файла формата .gif. Пожалуйста, уточните, что именно требуется рассчитать в этом случае.

3. Решение:

Для рассчета силы, действующей на тело массой 63 кг, движущееся прямолинейно по закону S(x) = 25x - 2x^2, используем второй закон Ньютона: F = ma, где F - сила, m - масса, a - ускорение.

Ускорение можно найти, вычислив вторую производную функции S(x):

S""(x) = d^2/dx^2(25x - 2x^2)
= 0 - 2⋅2 = -4

Теперь можем рассчитать силу:

F = m⋅a
= 63⋅(-4)
= -252

Сила, действующая на тело, равна -252 Н (ньютон). Обратите внимание, что полученное значение отрицательное, что говорит о том, что сила направлена в противоположную сторону направления движения тела.