1. Как огородить участок прямоугольной формы, прилегающий к зданию, чтобы получить наибольшую площадь, имея заданный

1. Данная задача относится к оптимизационным задачам, где требуется найти наибольшую или наименьшую величину при заданных условиях. Для решения этой задачи мы должны найти размеры участка прямоугольной формы, при которых его площадь будет максимальной.

Пусть длина участка будет равна \(x\) метров, а ширина - \(y\) метров. Так как участок прямоугольной формы прилегает к зданию, одна его сторона будет задана длиной здания, а другая - \(200 - 2x\) метров, таким образом, заданный периметр участка составляет 200 метров.

Теперь мы можем выразить ширину участка через длину: \(y = 200 - 2x\).

Площадь участка равна произведению его длины и ширины: \(S = xy\).

Для нахождения максимальной площади участка, мы можем взять производную от площади по одной из переменных и приравнять ее к нулю. Это обычно позволяет найти экстремум функции.

Возьмем производную по переменной \(x\):

\[\frac{{dS}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(x(200-2x))\]

Производная будет равна:

\[\frac{{dS}}{{dx}} = 200 - 4x\]

Теперь найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

\[200 - 4x = 0\]

Решая это уравнение, мы найдем:

\[x = 50\]

Учитывая ограничения задачи, когда \(x = 50\), ширина участка будет \(y = 200 - 2 \cdot 50 = 100\) метров.

Итак, наибольшая площадь участка будет достигаться при размерах \(50 \times 100\) метров. Меньшая сторона участка равна 50 метрам.

2. Чтобы найти высоту открытой коробки с минимальным объемом, нам нужно определить форму коробки. Известно, что она имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием.

Пусть сторона основания коробки будет равна \(x\) сантиметров, а высота - \(h\) сантиметров. Задача состоит в нахождении минимального значения объема коробки.

Объем параллелепипеда вычисляется путем умножения длины, ширины и высоты: \(V = x \cdot x \cdot h = x^2h\).

Условие задачи устанавливает, что площадь поверхности коробки должна быть равна 300 сантиметрам квадратным. Поэтому мы можем записать уравнение:

\(2x^2 + 4xh = 300\).

Мы можем это уравнение решить относительно высоты \(h\):

\[h = \frac{{300 - 2x^2}}{{4x}}\].

Теперь можем подставить значение \(h\) в формулу для объема, чтобы получить объем через переменную \(x\):

\[V = x^2 \cdot \left(\frac{{300 - 2x^2}}{{4x}}\right) = \frac{{x(300 - 2x^2)}}{4}\].

Мы хотим найти минимальное значение объема, поэтому мы должны найти экстремум нашей функции. Возьмем производную от \(V\) по \(x\):

\[\frac{{dV}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} \left(\frac{{x(300 - 2x^2)}}{4}\right)\].

Производная будет равна:

\[\frac{{dV}}{{dx}} = \frac{{150 - 6x^2}}{4}\].

Теперь найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

\[\frac{{150 - 6x^2}}{4} = 0\].

Решая это уравнение, мы найдем:

\[150 - 6x^2 = 0\].

Из этого уравнения мы можем найти значение \(x\):

\[x^2 = \frac{{150}}{6} = 25\].

\[x = \sqrt{25} = 5\].

Подставим это значение \(x\) в уравнение для \(h\), чтобы найти высоту \(h\):

\[h = \frac{{300 - 2 \cdot 5^2}}{{4 \cdot 5}} = \frac{{300 - 50}}{{20}} = \frac{{250}}{{20}} = 12.5\].

Таким образом, для получения коробки с наименьшим объемом и при использовании 300 сантиметров квадратных на изготовление, высота открытой коробки составляет 12.5 сантиметров.