Определите выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент линейной корреляции для зависимости

Для определения выборочного уравнения линейной регрессии и выборочного коэффициента линейной корреляции между выработкой на одного работника и величиной товарооборота магазина, нам потребуется рассчитать несколько значений.

1. Начнем с расчета выборочного коэффициента линейной корреляции. Для этого воспользуемся формулой:

\[r = \frac{{n \sum{xy} - \sum{x} \sum{y}}}{{\sqrt{{[n \sum{x^2} - (\sum{x})^2][n \sum{y^2} - (\sum{y})^2]}}}}\]

Где:
- \(n\) - количество наблюдений (в нашем случае, 7 магазинов);
- \(\sum{xy}\) - сумма произведений значений выработки и товарооборота магазина;
- \(\sum{x}\) - сумма значений товарооборота магазина;
- \(\sum{y}\) - сумма значений выработки на одного работника;
- \(\sum{x^2}\) - сумма квадратов значений товарооборота магазина;
- \(\sum{y^2}\) - сумма квадратов значений выработки на одного работника.

Рассчитаем все необходимые значения:

\(\sum{xy} = 130 \cdot 90 + 90 \cdot 120 + 120 \cdot 70 + 70 \cdot 140 + 140 \cdot 60 + 60 \cdot 160 = 190600\) (тыс. руб.)

\(\sum{x} = 130 + 90 + 120 + 70 + 140 + 60 + 160 = 770\) (тыс. руб.)

\(\sum{y} = 90 + 120 + 70 + 140 + 60 + 160 = 640\) (тыс. руб.)

\(\sum{x^2} = 130^2 + 90^2 + 120^2 + 70^2 + 140^2 + 60^2 + 160^2 = 97300\) (тыс. руб.)

\(\sum{y^2} = 90^2 + 120^2 + 70^2 + 140^2 + 60^2 + 160^2 = 56400\) (тыс. руб.)

Теперь подставим все значения в формулу выборочного коэффициента линейной корреляции:

\[r = \frac{{7 \cdot 190600 - 770 \cdot 640}}{{\sqrt{{[7 \cdot 97300 - (770)^2][7 \cdot 56400 - (640)^2]}}}}\]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:
\(7 \cdot 190600 - 770 \cdot 640 = -422400\) (тыс. руб.)

Знаменатель:
\(\sqrt{{[7 \cdot 97300 - (770)^2][7 \cdot 56400 - (640)^2]}} = \sqrt{{95126000}} \approx 9765.41\) (тыс. руб.)

Теперь рассчитаем выборочный коэффициент линейной корреляции:

\[r \approx \frac{{-422400}}{{9765.41}} \approx -0.4324\]

Выборочный коэффициент линейной корреляции (r) равен примерно -0.4324.

2. Для построения диаграммы рассеяния и линии регрессии, используем найденные значения. Поместим значения товарооборота (x) на горизонтальную ось, а значения выработки на одного работника (y) на вертикальную ось.

Теперь нарисуем все точки (x, y) на графике, соответствующие данным наблюдений:

(130, 90), (90, 120), (120, 70), (70, 140), (140, 60), (60, 160)

По полученным точкам рассеяния построим наилучшую подходящую линию регрессии по методу наименьших квадратов. Эта линия будет описывать общую тенденцию данных.

3. Для определения направления и силы связи между переменными, рассмотрим значение выборочного коэффициента линейной корреляции (r). Значение -0.4324 указывает на отрицательную связь между величиной товарооборота и выработкой на одного работника. Это значит, что с увеличением товарооборота в магазине, выработка на одного работника склоняется к снижению.

Также стоит отметить, что значение выборочного коэффициента линейной корреляции находится близко к нулю, что означает слабую линейную связь между этими переменными.

4. Чтобы оценить значение выработки (y), когда товарооборот (x) равен 90 тыс. руб., мы можем воспользоваться уравнением линейной регрессии. Выборочное уравнение линейной регрессии имеет вид:

\[y = a + bx\]

Где:
- \(a\) - угловой коэффициент (параметр, связанный с наклоном линии регрессии);
- \(b\) - свободный коэффициент (параметр, связанный с пересечением линии регрессии с вертикальной осью);
- \(x\) - значение товарооборота магазина.

Для расчета \(a\) и \(b\) воспользуемся следующими формулами:

\[b = \frac{{n \sum{xy} - \sum{x} \sum{y}}}{{n \sum{x^2} - (\sum{x})^2}}\]
\[a = \frac{{\sum{y} - b \sum{x}}}{{n}}\]

Подставим вычисленные ранее значения:

\(b = \frac{{7 \cdot 190600 - 770 \cdot 640}}{{7 \cdot 97300 - (770)^2}} = -0.4139\) (тыс. руб.)

\(a = \frac{{640 - (-0.4139) \cdot 770}}{{7}} = 192.0448\) (тыс. руб.)

Теперь можем найти значение \(y\), когда \(x = 90\) тыс. руб.:

\[y = 192.0448 - 0.4139 \cdot 90 = 153.3522\) (тыс. руб.)

Таким образом, оценочное значение выработки (y), когда товарооборот (x) равен 90 тыс. руб., составляет примерно 153.3522 тыс. рублей.