1. Как найти функцию F(x), которая является первообразной для f(x) = x^2 + 3cos(x)? 2. Как найти все функции

1. Для нахождения функции \( F(x) \), которая является первообразной для \( f(x) = x^2 + 3\cos(x) \), мы можем воспользоваться правилом интегрирования: интеграл от суммы равен сумме интегралов и интеграл от произведения равен произведению интеграла от каждого из слагаемых. Давайте разобьем задачу на две части и интегрируем каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: \( x^2 \).
Интеграл от \( x^2 \) равен \( \frac{1}{3}x^3 \) (это можно получить, применив правило степенного интеграла).

Второе слагаемое: \( 3\cos(x) \).
Интеграл от \(\cos(x)\) равен \(\sin(x)\) (это следует из стандартной формулы интеграла от \(\cos(x)\)).
Чтобы получить интеграл от \(3\cos(x)\), нужно умножить интеграл от \(\cos(x)\) на 3. Получаем \(3\sin(x)\).

Таким образом, первообразная для функции \( f(x) = x^2 + 3\cos(x) \) будет:
\[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 3\sin(x) + C, \]
где \( C \) - произвольная постоянная.

2. Чтобы найти все функции \( F(x) \), которые являются первообразными для \( e^{1-x} - 4\sin(2x+3) \), мы снова воспользуемся правилом интегрирования и разобьем данную функцию на две части.

Первое слагаемое: \( e^{1-x} \).
Интеграл от \( e^{1-x} \) можно найти, сделав замену переменной: \( u = 1 - x \). Тогда \( du = -dx \).
Интеграл превращается в интеграл от \( e^u \cdot (-1) \) или просто в интеграл от \( -e^u \).
Таким образом, интеграл от \( e^{1-x} \) равен \( -e^{1-x} \).

Второе слагаемое: \( -4\sin(2x+3) \).
Интеграл от \(\sin(2x+3)\) можно найти, сделав замену переменной: \( u = 2x+3 \). Тогда \( du = 2dx \).
Интеграл превращается в интеграл от \(\frac{1}{2}\sin(u) \) или просто в интеграл от \(\frac{1}{2}\sin(2x+3)\).
Таким образом, интеграл от \(-4\sin(2x+3)\) равен \(-2\cos(2x+3)\).

Собираем все вместе и получаем:
\[ F(x) = -e^{1-x} - 2\cos(2x+3) + C, \]
где \( C \) - произвольная постоянная.