1. Identify which of the equations is an incomplete quadratic equation and find its roots: a) 12 + x^2 + 32x

Конечно! Давайте начнем с задачи номер 1:

1. Первая задача требует определить, какое из уравнений является неполным квадратным уравнением и найти его корни. Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

a) \(12 + x^2 + 32x = 0\):
Уравнение a) не является неполным квадратным уравнением, так как у него присутствуют все члены: квадратный член \(x^2\), линейный член \(32x\) и свободный член \(12\).

b) \(3x^2 + x = 0\):
Уравнение b) является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует свободный член. Решим его, чтобы найти корни:
\[3x^2 + x = 0\]
\[x(3x + 1) = 0\]
Таким образом, получаем два решения: \(x = 0\) и \(3x + 1 = 0\), откуда следует \(x = -\frac{1}{3}\).

c) \(5x - 12 = 0\):
Уравнение c) не является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует квадратный член.

d) \(7 + 4x - 2x^2 = 0\):
Уравнение d) является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует свободный член. Решим его, чтобы найти корни:
\[7 + 4x - 2x^2 = 0\]
\[-2x^2 + 4x + 7 = 0\]
Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или, при необходимости, с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

Не забудьте проверить отрицательное значение дискриминанта (\(D = b^2 - 4ac\)), чтобы убедиться, имеет ли уравнение решения.

e) \(11x + x = 0\):
Уравнение e) не является неполным квадратным уравнением, так как отсутствует квадратный член.

Теперь перейдем к задаче номер 2:

2. Вторая задача требует определить количество корней в каждом уравнении и найти их, если они существуют. Рассмотрим каждое уравнение в отдельности:

a) \(2x - 5x + 9 = 0\):
Чтобы определить количество корней, необходимо рассчитать дискриминант. Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\). Затем, используя значение дискриминанта, можно определить количество корней и их значение.
Для данного уравнения, \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 9\).
Вычисляем дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4(2)(9)\]
\[D = 25 - 72\]
\[D = -47\]
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

b) \(3x^2 - 7x + 4 = 0\):
Аналогично, чтобы определить количество корней, рассчитаем дискриминант для данного уравнения:
\[a = 3, b = -7, c = 4\]
\[D = (-7)^2 - 4(3)(4)\]
\[D = 49 - 48\]
\[D = 1\]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня.
Чтобы найти значения корней, используем формулу: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставим значения:
\[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2(3)}\]
\[x_1 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3}\]

\[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2(3)}\]
\[x_2 = \frac{7 - 1}{6} = 1\]

Теперь перейдем к задаче номер 3:

3. В данной задаче нам нужно найти второй корень уравнения и значение \(q\) с использованием формулы Виета.
Известно, что -11 является одним из корней уравнения \(x^2 + 9x + q = 0\).
Согласно формуле Виета, для квадратного уравнения \(ax^2 + bx+ c = 0\), с корнями \(x_1\) и \(x_2\), сумма корней (-b/a) равна \((-b/a) = x_1 + x_2\), а произведение корней (c/a) равно \((c/a) = x_1 \cdot x_2\).

Для данного уравнения, сумма корней равна \((-9/1) = -11\), следовательно, \(x_1 + x_2 = -11\).

Мы уже знаем один корень (-11), поэтому можем использовать его, чтобы найти второй корень:
\(x_1 + x_2 = -11\), подставляем известный корень:
\(-11 + x_2 = -11\)
\(x_2 = 0\)

Теперь рассчитаем значение \(q\):
Так как \(x_1 \cdot x_2 = (c/a) = q/1 = q\), где \(q\) - свободный член уравнения.

Подставим известные значения:
\((-11) \cdot 0 = q\)
\[q = 0\]

Перейдем к последней задаче номер 4:

4. Для упрощения дроби необходимо раскрыть скобки, объединить подобные члены и сократить, если возможно:
\[4x - 12x^2 - 11x + 24\]

Сначала объединим подобные члены:
\[-12x^2 + (4x - 11x) + 24\]
\[-12x^2 - 7x + 24\]

Таким образом, исходное выражение \[4x - 12x^2 - 11x + 24\] упрощается до \[-12x^2 - 7x + 24\].

Надеюсь, эти подробные пояснения помогут вам понять задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!