Каково значение выражения (3*(1/5a - 1/6b)):(b/5 - a/6) при a = √27 и b = 1/√3?

Для начала, давайте подставим значения a и b в данное выражение и вычислим его. Постепенно мы проделаем все необходимые шаги и объясним каждый из них для того, чтобы ответ был понятным и понятным для школьника.

У нас дано значение a = √27 и b = 1/√3. Заменим a и b в данном выражении:

\[
\frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}{\frac{\frac{1}{2}}{5} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

Упростим эту дробь, начав с числителя. Сначала найдем общий знаменатель для дробей внутри скобок:

\[
\frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}{\frac{\frac{1}{2}}{5} - \frac{\sqrt{27}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}{\frac{1}{2 \cdot 5} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, выполняем вычитание в числителе:

\[
\frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}{\frac{1}{2 \cdot 5} - \frac{\sqrt{27}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{\frac{6}{\sqrt{3}}}} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

Теперь упростим выражения внутри скобок:

\[
\frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{1}{\frac{6}{\sqrt{3}}}} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{\sqrt{3}}{6}} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

Продолжим упрощение, найдя общий знаменатель для числителя:

\[
\frac{3 \left( \frac{1}{5 \cdot \sqrt{27}} - \frac{\sqrt{3}}{6}} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{1 \cdot 6 - 5 \cdot \sqrt{3}}{5 \cdot \sqrt{27} \cdot 6} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

Теперь упростим числитель:

\[
\frac{3 \left( \frac{1 \cdot 6 - 5 \cdot \sqrt{3}}{5 \cdot \sqrt{27} \cdot 6} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{30 \sqrt{27}} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{\sqrt{27}}{6}}
\]

В числителе у нас осталась сложная дробь, а в знаменателе также есть сложные дроби. Перед тем как продолжить упрощение выражения, необходимо сделать дополнительные вычисления. Вычислим значения \(\sqrt{27}\) и \(\frac{1}{\sqrt{3}}\):

\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}\)

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Заменим эти значения в нашем выражении:

\[
\frac{3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{30 \cdot 3} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{3 \sqrt{3}}{6}} = \frac{3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{90} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{3 \sqrt{3}}{6}}
\]

Теперь у нас есть дробь в числителе и в знаменателе. Чтобы делить одну дробь на другую, умножим исходную дробь на обратную к делителю. Выполним эту операцию:

\[
\frac{3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{90} \right)}{\frac{1}{10} - \frac{3 \sqrt{3}}{6}} = 3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{90} \right) \cdot \left( \frac{10}{1} \div \left( \frac{1}{10} - \frac{3 \sqrt{3}}{6} \right) \right)
\]

Теперь рассмотрим делитель, который включает сложные дроби. Для более удобного вычисления проведем операции с дробью, имеющую общий знаменатель:

\[
\frac{1}{10} - \frac{3 \sqrt{3}}{6} = \frac{1}{10} - \frac{5 \sqrt{3}}{10}
\]

Теперь сделаем вычитание:

\[
\frac{1}{10} - \frac{5 \sqrt{3}}{10} = \frac{1 - 5 \sqrt{3}}{10}
\]

Заменим это значение в исходном выражении:

\[
3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{90} \right) \cdot \left( \frac{10}{1} \div \frac{1 - 5 \sqrt{3}}{10} \right)
\]

Здесь мы можем обнаружить две операции, которые можно сократить - 10 в числителе и 10 в знаменателе. Эти операции, по сути, сокращаются:

\[
3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{90} \right) \cdot \left( \frac{10}{1} \div \frac{1 - 5 \sqrt{3}}{10} \right) = 3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{9} \right) \cdot \left( \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}} \right)
\]

Теперь мы можем умножить значения в числителях и знаменателях и упростить:

\[
3 \left( \frac{6 - 5 \sqrt{3}}{9} \right) \cdot \left( \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}} \right) = \frac{18 - 15 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}}
\]

После этой операции у нас осталась еще одна сложная дробь в знаменателе. Мы можем упростить ее, умножив числитель и знаменатель на ее обратное значение:

\[
\frac{18 - 15 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}} = \frac{18 - 15 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + 5 \sqrt{3}}{1 + 5 \sqrt{3}}
\]

Теперь у нас есть произведение двух дробей. Проведем умножение:

\[
\frac{18 - 15 \sqrt{3}}{9} \cdot \frac{1}{1 - 5 \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + 5 \sqrt{3}}{1 + 5 \sqrt{3}} = \frac{(18 - 15 \sqrt{3})(1 + 5 \sqrt{3})}{9(1 - 5 \sqrt{3})(1 + 5 \sqrt{3})}
\]

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\[
\frac{(18 - 15 \sqrt{3})(1 + 5 \sqrt{3})}{9(1 - 5 \sqrt{3})(1 + 5 \sqrt{3})} = \frac{18 + 84 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 75 \cdot 3}{9 - 45 \sqrt{3} + 45 \sqrt{3} - 225 \cdot 3}
\]

Упростим числитель и знаменатель, произведя операции:

\[
\frac{18 + 84 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} - 75 \cdot 3}{9 - 45 \sqrt{3} + 45 \sqrt{3} - 225 \cdot 3} = \frac{-147 + 69 \sqrt{3}}{-666}
\]

Теперь у нас есть значение исходного выражения:

\[
\frac{-147 + 69 \sqrt{3}}{-666} \approx 0.22
\]

Таким образом, значение данного выражения при \(a = \sqrt{27}\) и \(b = \frac{1}{\sqrt{3}}\) примерно равно 0.22.