1. Find the domain and range of the function y=2sinx cosx. Find the domain and range of the function y=2ctg(x+π/2

1. Чтобы найти область определения функции y=2sinx cosx, нужно определить значения x, при которых функция определена. Так как умножение и синус являются непрерывными операциями, то функция определена для любого значения x. Следовательно, ее область определения - это множество всех действительных чисел.

Чтобы найти область значений функции y=2sinx cosx, нужно анализировать значения самого выражения 2sinx cosx. Поскольку синус и косинус функции могут принимать значения от -1 до 1, то произведение 2sinx cosx будет находиться в диапазоне от -2 до 2. Следовательно, область значений функции y=2sinx cosx - это интервал от -2 до 2.

Аналогичным образом мы можем найти область определения и область значений для функции y=2ctg(x+π/2). Так как ранг может быть любым числом кроме нуля, область определения функции ограничена условием, что x+π/2 не равно nπ, где n - целое число. Область определения равна множеству всех значений x, кроме x=nπ-π/2.

Область значений функции y=2ctg(x+π/2) - это множество действительных чисел кроме нуля.

2. Чтобы определить, является ли функция y=(2x²+ cos x)*cosx четной или нечетной, можно анализировать само выражение функции.

- Если f(-x) = f(x) для всех значений x в области определения функции, то она является четной функцией.
- Если f(-x) = -f(x) для всех значений x в области определения функции, она является нечетной функцией.

Вычислим f(-x):

f(-x) = (2(-x)² + cos(-x))*cos(-x)
= (2x² + cos(-x))*cos(-x)

Из этого видно, что f(-x) не равно f(x), но также f(-x) не равно -f(x). Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Аналогично, для функции y= x*ctgx вычислим f(-x):

f(-x) = (-x)*ctg(-x)
= -x*ctg(x)

Так как f(-x) = -f(x) для всех значений x в области определения функции, то она является нечетной функцией.

3. Чтобы доказать, что функция y=sin2x является периодической и найти ее наименьший положительный период, нужно показать, что для любого значения x выполняется равенство sin2x = sin2(x + T), где T - период функции.

Используя формулу двойного аргумента для синуса, получим:

sin2(x + T) = sin(x + T) * sin(x + T)
= (sinx * cosT + cosx * sinT) * (sinx * cosT + cosx * sinT)
= sin²x * cos²T + 2sinx * cosx * sinT * cosT + cos²x * sin²T

Сравнивая это с исходной функцией sin2x = sin²x * cos²x, видим, что sin2(x + T) будет равно sin2x, только если выполнено следующее:

sin²x * cos²T + 2sinx * cosx * sinT * cosT + cos²x * sin²T = sin²x * cos²x

Нужно, чтобы эти два выражения были равными для любого значения x. Однако, это возможно только если:

cos²T + sin²T = 1

Данное равенство выполняется для любого значения T. Это означает, что функция y=sin2x является периодической, и любое значение T, удовлетворяющее равенству cos²T + sin²T = 1, будет его наименьшим положительным периодом.

4. Чтобы найти все корни уравнения sin x=-1/2, принадлежащие интервалу -2.5π до 0.5π, нужно решить уравнение в этом интервале.

Для начала найдем все углы x, удовлетворяющие условию sin x=-1/2. Это происходит, когда x равен -π/6 или 7π/6, поскольку sin(-π/6) = sin(7π/6) = -1/2.

Однако, нас интересуют только те значения x, которые попадают в заданный интервал -2.5π до 0.5π. Таким образом, корни, которые мы ищем, будут находиться в этом интервале и будут равны -π/6 и 7π/6.

5. Чтобы найти все решения неравенства tgx ≥ -2π на интервале -2π, нужно решить неравенство в этом интервале.

Прежде всего, найдем значения x, при которых tgx = -2π. Тангенсу противоположны значения -π/2 и 3π/2, поэтому x должно быть равно -π/2 + kπ и 3π/2 + kπ, где k - целое число.

Однако, мы хотим найти значения x, при которых tgx ≥ -2π. Таким образом, интересуют нас только те значения x, которые больше -π/2 + kπ и 3π/2 + kπ.

На интервале -2π существует бесконечное количество интервалов вида (-π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ), где k - целое число. В каждом из этих интервалов могут быть значения x, для которых tgx ≥ -2π.

Поэтому решение данного неравенства на интервале -2π будет выглядеть как объединение всех таких интервалов:

(-π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ), где k - целое число.