1) Если у двух функций есть постоянная разница, то а. Их производные равны? б. Их производные отличаются на разность

1) Если у двух функций есть постоянная разница, то

а) Их производные равны?
Ответ: Да, производные этих функций равны. Обоснование: Постоянная разница между функциями означает, что для любого значения аргумента, разница значений этих функций будет постоянной. Если функции имеют одинаковую постоянную разницу, то их скорости изменения в каждой точке также будут одинаковыми, что означает, что их производные будут равными.

б) Их производные отличаются на разность постоянных слагаемых?
Ответ: Нет, их производные не отличаются на разность постоянных слагаемых. Обоснование: Постоянная разница между функциями указывает только на разницу значений функций в каждой точке, но не на разницу их производных. Производная функции отражает скорость изменения функции в каждой точке, и эта скорость может быть разной для каждой функции, не зависимо от их постоянной разницы.

в) Невозможно определить разницу их производных?
Ответ: Нет, возможно определить разницу их производных. Обоснование: Если у двух функций есть постоянная разница, то разница их производных будет равна нулю. Это следует из того, что производная от константы равна нулю.

г) Нужно использовать правило дифференцирования сложной функции?
Ответ: Нет, не требуется использовать правило дифференцирования сложной функции. Обоснование: В данном случае нет сложных функций, только функции с постоянной разницей.

2) Функция может иметь экстремум в точках, где

а) Производная не существует?
Ответ: Да, функция может иметь экстремум в точках, где производная не существует. Обоснование: В точках, где производная не существует (например, из-за разрывов в функции или неопределенности), функция может иметь локальные экстремумы.

б) Производная равна нулю?
Ответ: Да, функция может иметь экстремум в точках, где производная равна нулю. Обоснование: Точки, в которых производная равна нулю, называются критическими точками функции. Возможно, что в этих точках функция имеет экстремумы - максимум или минимум.

в) Производная равна нулю или не существует?
Ответ: Да, функция может иметь экстремум в точках, где производная равна нулю или не существует. Обоснование: Критические точки, где производная равна нулю или не существует, могут быть местами локальных экстремумов функции.

г) Производная меньше нуля?
Ответ: Нет, функция не может иметь экстремум в точках, где производная меньше нуля. Обоснование: Если производная функции меньше нуля в точке, это означает, что функция убывает в этой точке и, следовательно, не будет экстремума.

3) Какое высказывание неверно относительно касательной к графику функции?

а) Касательная проходит через график функции в единственной точке?
Ответ: Нет, это высказывание неверно. Обоснование: Касательная может пересекать график функции в более чем одной точке, в случае, если функция имеет точки перегиба или особые точки.

б) Направление касательной к графику функции изменяется при прохождении через точку экстремума?
Ответ: Да, это высказывание верно. Обоснование: Касательная к графику функции изменяет свое направление при прохождении через точку экстремума. Если функция имеет минимум или максимум в точке экстремума, касательная будет горизонтальной в этой точке.

в) Касательная всегда параллельна оси абсцисс?
Ответ: Нет, это высказывание неверно. Обоснование: Касательная может быть параллельна оси абсцисс, если функция имеет горизонтальные асимптоты или точки перегиба, но она также может быть наклонной или вертикальной в зависимости от формы графика функции.