1) Если АВСД - параллелограмм, то угол АС является биссектрисой угла А. 2) Если ABCD - прямоугольник, то угол

1) Если АВСД - параллелограмм, то угол АС является биссектрисой угла А.

Для доказательства этого утверждения, нам понадобится знание о свойствах параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Поскольку АВСД - параллелограмм, то можем сказать, что сторона АВ параллельна стороне СД и сторона АС параллельна стороне BD.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма углов внутри треугольника равна 180 градусам. Также, известно, что сумма углов на противоположных сторонах параллелограмма также равна 180 градусам.

Угол АС образован сторонами АС и AB, которые являются противоположными сторонами параллелограмма. То есть, угол АС - это внутренний угол треугольника АВС.

Исходя из свойства параллелограмма, сторона АС параллельна стороне BD. Это значит, что угол АBD и угол АСD являются соответствующими углами, а соответствующие углы равны.

Таким образом, угол АС является биссектрисой угла А, так как он разделяет угол А на два равных угла, каждый из которых равен половине угла А.

2) Если ABCD - прямоугольник, то угол АС является биссектрисой угла А.

Для доказательства этого утверждения, нам понадобится знание о свойствах прямоугольника. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам.

Снова обратимся к треугольнику АВС внутри прямоугольника ABCD. Угол АС образован сторонами АС и AB, каждая из которых является стороной прямоугольника. Так как прямоугольник имеет все углы равными 90 градусам, то угол АВС также равен 90 градусам.

Исходя из свойства прямоугольника, сумма углов внутри треугольника АВС равна 180 градусам. Если угол АВС равен 90 градусам, то сумма углов А и АС также равна 90 градусам.

Это означает, что угол АС является биссектрисой угла А, так как он разделяет угол А на два равных угла, каждый из которых равен половине угла А.

3) Если ABCD - ромб, то угол АС является биссектрисой угла А.

Для доказательства этого утверждения, нам понадобится знание о свойствах ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Обратимся к треугольнику АВС внутри ромба ABCD. Угол АС образован сторонами АС и AB, каждая из которых является стороной ромба. Так как все стороны ромба равны между собой, то сторона АС равна стороне AB.

Сумма углов внутри треугольника АВС равна 180 градусам. Заметим, что сторона АС равна стороне AB и угол АВС является основным углом для этой стороны.

Так как в ромбе углы находятся на противоположных сторонах, угол АВС является основным углом для стороны АС.

Исходя из этих свойств ромба, можно сказать, что угол АС является биссектрисой угла А, так как он разделяет угол А на два равных угла, каждый из которых равен половине угла А.

4) Если ABCD - параллелограмм, то прямые AC и BD параллельны.

Доказательство этого утверждения основывается на определении параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Поскольку ABCD - параллелограмм, это означает, что сторона AB параллельна стороне CD и сторона AD параллельна стороне BC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сторона AC, это диагональ параллелограмма. Так как сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AD параллельна стороне BC, то можно сказать, что сторона AC пересекает эти параллельные стороны.

Поскольку в треугольнике ABC сторона AC пересекает параллельные стороны AB и CD, то согласно свойству параллельной связи, прямые AC и BD также параллельны.

Таким образом, если ABCD - параллелограмм, то прямые AC и BD параллельны.

5) Если ABCD - прямоугольник, то прямые AC и BD параллельны.

Доказательство этого утверждения также основывается на определении прямоугольника. Прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам.

В прямоугольнике ABCD все углы равны 90 градусам. Рассмотрим треугольник ABC. Сторона AC, это диагональ прямоугольника.

Поскольку все углы ABCD равны 90 градусам, то угол ABC и угол ADC также равны 90 градусам. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным.

Так как сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, то прямая AC перпендикулярна стороне AB и стороне BC.

Аналогично, сторона BD является гипотенузой прямоугольного треугольника ADC, и прямая BD перпендикулярна стороне AD и стороне DC.

Таким образом, прямые AC и BD параллельны, так как они перпендикулярны к двум параллельным сторонам прямоугольника ABCD.

6) Если ABCD - ромб, то прямые AC и BD параллельны.

Доказательство этого утверждения основывается на свойствах ромба. Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны.

В ромбе ABCD все стороны равны между собой. Рассмотрим треугольник ABC. Сторона AC, это диагональ ромба.

Поскольку все стороны ромба ABCD равны, то треугольник ABC является равнобедренным. Аналогично, треугольник ADC также является равнобедренным.

Так как сторона AC является биссектрисой угла ABC, она перпендикулярна биссектрисе угла ADC. Аналогично, сторона BD перпендикулярна биссектрисе угла ABC.

Исходя из свойств ромба, сторона AC и сторона BD пересекаются в серединах соответствующих сторон ромба. Но так как стороны ромба равны, то середины сторон ромба также будут соответствующими.

Следовательно, прямые AC и BD параллельны друг другу.

7) Если является параллелограммом, то AC = BD.

Это утверждение верно, поскольку параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

Если у нас есть параллелограмм ABCD, то сторона AB равна стороне CD и сторона AD равна стороне BC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сторона AC - это диагональ параллелограмма.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC, мы можем записать следующее:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Также, поскольку сторона AB равна стороне CD и сторона BC равна стороне AD, мы можем заменить значения в уравнении:

\[AC^2 = CD^2 + AD^2\]

На основе свойства параллелограмма, сторона AC равна стороне BD. Заменим данные значения:

\[BD^2 = CD^2 + AD^2\]

Таким образом, сторона AC равна стороне BD, если параллелограмм ABCD.

8) Если ABCD - прямоугольник, то AC = BD.

Утверждение верно, поскольку в прямоугольнике все стороны равны.

Прямоугольник ABCD имеет все углы равными 90 градусам. Это означает, что все четыре стороны равны между собой.

Рассмотрим треугольник ABC. Сторона AC - это диагональ прямоугольника.

Выполним те же шаги, что и в предыдущем доказательстве. Используя теорему Пифагора для треугольника ABC, мы получим:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Заменим значения, учитывая равенство сторон:

\[AC^2 = AB^2 + AB^2\]

\[AC^2 = 2AB^2\]

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сторона BD - это диагональ прямоугольника.

Также, используя теорему Пифагора для треугольника ABD, мы получим:

\[BD^2 = AB^2 + AB^2\]

\[BD^2 = 2AB^2\]

Видим, что \(AC^2 = 2AB^2\) и \(BD^2 = 2AB^2\). Значит, \(AC = BD\).

Таким образом, в прямоугольнике ABCD, сторона AC равна стороне BD.

9) Если ABCD - ромб, то AC = BD.

Утверждение верно, так как в ромбе все стороны равны.

Ромб ABCD имеет все стороны равными между собой.

Рассмотрим треугольникABC. Сторона AC - это диагональ ромба.

Мы знаем, что сторона AB равна стороне BC и сторона AC равна стороне CB.

Так как стороны ромба равны, то в треугольнике ABC все стороны равны. Следовательно, треугольник ABC является равносторонним.

Равносторонний треугольник также является равноугольным, что означает, что все углы треугольника ABC равны между собой и равны 60 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сторона BD - это вторая диагональ ромба.

Согласно свойствам ромба, две диагонали в ромбе делят угол между своими сторонами на равные части. То есть, угол ABD равен углу ABC и равен 60 градусам.

Таким образом, треугольник ABD также является