1. Докажите прямоугольность треугольника с вершинами в точках a(-10; 3), b(2; 9) и с(5; 3). Запишите уравнение

Добро пожаловать! Давайте решим задачу по порядку:

1. Чтобы доказать, что треугольник прямоугольный, нам нужно проверить, являются ли квадраты его сторон пропорциональными. Для этого, мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Заметим, что треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC. Вычислим длину каждой из сторон:

AB: \(d_{AB} = \sqrt{{(-10 - 2)^2 + (3 - 9)^2}} = \sqrt{{12^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{144 + 36}} = \sqrt{{180}} = 6\sqrt{{5}}\)

BC: \(d_{BC} = \sqrt{{(2 - 5)^2 + (9 - 3)^2}} = \sqrt{{(-3)^2 + 6^2}} = \sqrt{{9 + 36}} = \sqrt{{45}} = 3\sqrt{{5}}\)

AC: \(d_{AC} = \sqrt{{(-10 - 5)^2 + (3 - 3)^2}} = \sqrt{{(-15)^2 + 0^2}} = \sqrt{{225 + 0}} = \sqrt{{225}} = 15\)

Теперь, проверим если выполняется теорема Пифагора для треугольника ABC:

\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)

\((6\sqrt{{5}})^2 + (3\sqrt{{5}})^2 = 15^2\)

\(36 \cdot 5 + 9 \cdot 5 = 225\)

\(180 + 45 = 225\)

Таким образом, теорема Пифагора выполняется, что означает, что треугольник ABC является прямоугольным в точке B.

Теперь давайте перейдем к записи уравнения окружности, описанной вокруг этого треугольника. Чтобы записать уравнение окружности, мы должны знать координаты ее центра и радиус. Окружность, описанная вокруг треугольника, будет проходить через вершины треугольника.

Центр окружности будет являться точкой пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника. Мы можем найти середины сторон с помощью формулы:

\(x_{\text{середина}} = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\)
\(y_{\text{середина}} = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\)

Вычислим координаты середин сторон треугольника ABC:

Середина AB: \(x_{\text{середина_{AB}}} = \frac{{-10 + 2}}{2} = -4\) и \(y_{\text{середина_{AB}}} = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\)

Середина BC: \(x_{\text{середина_{BC}}} = \frac{{2 + 5}}{2} = \frac{{7}}{2}\) и \(y_{\text{середина_{BC}}} = \frac{{9 + 3}}{2} = 6\)

Середина AC: \(x_{\text{середина_{AC}}} = \frac{{-10 + 5}}{2} = -\frac{{5}}{2}\) и \(y_{\text{середина_{AC}}} = \frac{{3 + 3}}{2} = 3\)

Теперь, давайте найдем уравнение прямой, проходящей через две точки. Мы можем использовать формулу:

\(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\)

Применим эту формулу для нахождения уравнения прямой, проходящей через середину стороны AB и точку C:

\(y - 6 = \frac{{3 - 6}}{{5 - (-4)}}(x - (-4))\)

\(y - 6 = \frac{{-3}}{{9}}(x + 4)\)

\(y - 6 = -\frac{{1}}{{3}}(x + 4)\)

\(3y - 18 = -x - 4\)

\(x + 3y = 14\)

Таким образом, уравнение медианы, проходящей через вершину C, принимает вид \(x + 3y = 14\).

Мы выполнили обе части задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, обращайтесь!