№1. Choose the correct statements: 1. The height of a right triangle is equal to the product of the projections

Давайте рассмотрим каждое утверждение по очереди:

1. Высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций его катетов.
Данное утверждение не является верным. Высота прямоугольного треугольника определяется как перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла к гипотенузе. Проекции катетов на гипотенузу не связаны с высотой треугольника.

2. Проекция катета равна отношению его квадрата к гипотенузе.
Это верное утверждение. Проекция катета на гипотенузу равна отношению квадрата этого катета к квадрату гипотенузы. Можно записать это следующим образом:
\[AC^2 = AB \cdot BC\]

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению квадрата катета к его проекции на гипотенузу.
Это утверждение не верно. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна корню из суммы квадратов его катетов, а не отношению квадрата катета к его проекции на гипотенузу.

4. Высота прямоугольного треугольника равна геометрическому среднему между проекциями катетов на гипотенузу.
Это утверждение также не верно. Высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу, а не их геометрическому среднему.

5. Высота прямоугольного треугольника равна отношению произведения его катетов к гипотенузе.
Это утверждение также не верно. Высота прямоугольного треугольника равна произведению проекций катетов на гипотенузу, а не отношению произведения катетов к гипотенузе.

6. Проекция катета равна отношению его к гипотенузе.
Это утверждение верно. Проекция катета на гипотенузу равна отношению длины этого катета к длине гипотенузы. Это можно записать следующим образом:
\[AC = \frac{AB}{BC}\]

Таким образом, правильные утверждения из предложенных в задаче - номер 2 и номер 6.