1) Чему равно значение функции f*(x) в точке x=2, если известно, что производная функции y=f^3(x) в точке x=2 равна

Давайте начнем с первой задачи.

1) Чтобы найти значение функции $f^{\ast }(x)$ в точке $x=2$, мы должны использовать информацию о производных функций $f^3(x)$ и $1/f(x)$ в точке $x=2$.

Заметим, что производная функции $f^3(x)$ в точке $x=2$ равна 27. То есть, $f{"}^3(2)=27$.

Также известно, что значение производной функции $1/f(x)$ в точке $x=2$ равно -1. Имеем $f{"}^{(1/f)}(2)=-1$.

Мы можем использовать эти два факта, чтобы найти значение функции $f^{\ast }(x)$ в точке $x=2$.

Так как у производной функции $1/f(x)$ равна -1, мы можем записать это как $f{"}^{(1/f)}(x)=-1$.

Также, функция $f^{\ast }(x)$ является производной функции $f(x)$, поэтому мы можем записать $f^{\ast }(x)=f"(x)$.

Теперь мы можем привести эти уравнения вместе, подставив значения $x=2$:

$$f{"}^{(1/f)}(2)=f^{\ast }(2)=f"(2)=27$$

Итак, значение функции $f^{\ast }(x)$ в точке $x=2$ равно 27.

Теперь давайте перейдем ко второй задаче.

2) У нас дано уравнение $f^{\ast }(x)+f(x)=0$, а также функция $f(x)=2x^2+3x+2$.

Мы знаем, что $f^{\ast }(x)=f"(x)$, поэтому у нас есть уравнение $f"(x)+f(x)=0$.

Для решения этого уравнения нам нужно найти производную функции $f(x)$ и подставить ее в уравнение.

Находим производную функции $f(x)$:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}(2x^2+3x+2)$$
$$=4x+3$$

Теперь подставляем это в уравнение:

$$4x+3+2x^2+3x+2=0$$

Мы получили квадратное уравнение. Чтобы решить его, приведем его к стандартному виду:

$$2x^2+7x+5=0$$

Используем квадратное уравнение, чтобы найти решения:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае, $a=2$, $b=7$, и $c=5$.

Подставляем значения и рассчитываем:

$$x=\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 2\cdot 5}}{2\cdot 2}$$
$$x=\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{4}$$
$$x=\frac{-7\pm \sqrt{9}}{4}$$
$$x=\frac{-7\pm 3}{4}$$

Итак, имеем два решения:

$$x_1=\frac{-7+3}{4}=-1$$
$$x_2=\frac{-7-3}{4}=-2$$

Таким образом, уравнение $f^{\ast }(x)+f(x)=0$ имеет два решения: $x_1=-1$ и $x_2=-2$.

Перейдем к третьей задаче.

3) Нам нужно найти наибольшее целочисленное решение неравенства $f(x)-f^{\ast }(x)>0$.

Для этого мы должны использовать информацию о функции $f(x)=2x^2+3x+2$ и ее производной $f^{\ast }(x)=f"(x)$.

Вычислим производную функции $f(x)$:

$$f"(x)=\frac{d}{dx}(2x^2+3x+2)$$
$$=4x+3$$

Теперь мы имеем неравенство $f(x)-f^{\ast }(x)>0$. Подставляем значения функций:

$$2x^2+3x+2-(4x+3)>0$$

$$2x^2+3x+2-4x-3>0$$

$$2x^2-x-1>0$$

Нам нужно найти наибольшее целочисленное решение этого неравенства.

Чтобы найти решение, мы можем построить график функции $f(x)$ и найти область, где график лежит выше оси $x$.

Однако, в данном случае, мы можем проанализировать функцию и определить возрастание и убывание функции.

Обратите внимание, что коэффициент перед $x^2$ положительный ($2$). Это означает, что график функции будет открытым вверх и функция будет возрастать по мере увеличения $x$.

Также, функция имеет дискриминант $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9$, что означает, что уравнение $2x^2-x-1=0$ имеет два различных корня.

Таким образом, мы можем заключить, что функция $f(x)$ будет положительной для всех $x$ в интервале между корнями, то есть между двумя значениями $x$, где $2x^2-x-1=0$.

Чтобы найти наибольшее целочисленное решение, мы должны найти наименьшее значение этого интервала, которое будет целым числом.

Решив уравнение $2x^2-x-1=0$, мы найдем значения $x$ для которых функция $f(x)$ равна $0$, и эти значения будут определять наши два значения границ интервала.

Используем квадратное уравнение:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае, $a=2$, $b=-1$, и $c=-1$.

Подставляем значения и рассчитываем:

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{9}}{4}$$
$$x=\frac{1\pm 3}{4}$$

Таким образом, у нас есть два корня:

$$x_1=\frac{1+3}{4}=1$$
$$x_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$$

Наибольшее целочисленное решение будет наименьшим целочисленным значением в этом интервале, следовательно, нашим ответом будет $x=1$.

Таким образом, наибольшее целочисленное решение неравенства $f(x)-f^{\ast }(x)>0$ равно $x=1$.

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять каждую задачу более подробно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спросить!