1. а) Какие из векторов ad, da, cd, dc эквивалентны вектору ав? б) Какие из векторов ao, bd, do, bd сонаправлены

1. а) Векторы ad и cd эквивалентны вектору ав, так как они имеют одинаковую длину и направление, но противоположные направления. Векторы da и dc не эквивалентны вектору ав, так как они имеют противоположное направление и разную длину.

б) Векторы ao и do сонаправлены с вектором во, так как они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Вектор bd не сонаправлен с вектором во, так как они имеют противоположное направление.

2. Чтобы нарисовать два случайных вектора вс и вd, нужно использовать координатную плоскость. Выберем произвольные значения для координат точек a и b, например, a(2, 3) и b(5, 7). Теперь можно нарисовать векторы вс и вd, начиная с точки a и кончая точкой s и d соответственно.

\[
\overrightarrow{{vs}} = \overrightarrow{{as}} + \overrightarrow{{bd}} = (x_s - x_a, y_s - y_a) + (x_d - x_b, y_d - y_b)
\]

Для примера, если x_s = 8, y_s = 6, x_d = 9, y_d = 2, x_a = 2, y_a = 3, x_b = 5, y_b = 7, то

\[
\overrightarrow{{vs}} = (8 - 2, 6 - 3) + (9 - 5, 2 - 7) = (6, 3) + (4, -5) = (10, -2)
\]

Таким образом, вектор вс будет равен (10, -2).

3. Пусть a и b - длины оснований трапеции, а l - длина средней линии. По условию задачи, b = a + 3 и l = 9. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований: l = (a + b) / 2. Подставим известные значения и решим уравнение:

9 = (a + (a + 3)) / 2
18 = 2a + 3
15 = 2a
a = 15 / 2
a = 7.5

Таким образом, длина меньшего основания равна 7.5 см, а длина большего основания равна 7.5 + 3 = 10.5 см.

4. Для доказательства того, что середины сторон прямоугольника являются вершинами параллелограмма, мы можем использовать свойства векторов. Пусть a, b, c и d - вершины прямоугольника. Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны и имеют равные длины.

Вектор, соединяющий середину стороны ac с серединой стороны bd, можно найти как сумму векторов ab и cd:

\[
\overrightarrow{{mid_{ac}bd}} = \overrightarrow{{ab}} + \overrightarrow{{cd}}
\]

Аналогично, вектор, соединяющий середину стороны ad с серединой стороны bc, можно найти как сумму векторов ad и bc:

\[
\overrightarrow{{mid_{ad}bc}} = \overrightarrow{{ad}} + \overrightarrow{{bc}}
\]

Если вектор \(\overrightarrow{{mid_{ac}bd}}\) равен вектору \(\overrightarrow{{mid_{ad}bc}}\) (имеет одинаковые координаты), то вершины этих векторов являются вершинами параллелограмма.

Таким образом, чтобы доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами параллелограмма, необходимо проверить, что координаты вектора \(\overrightarrow{{mid_{ac}bd}}\) равны координатам вектора \(\overrightarrow{{mid_{ad}bc}}\). Если равенство выполняется, то можно сделать вывод, что середины сторон прямоугольника образуют параллелограмм.