9. AC and BC are congruent angles with measures of 200° and 90° respectively (figure 17.11). Find the measure of angle

Задача 9:
Дано: Углы AC и BC равны и имеют меры 200° и 90° соответственно.
Требуется: Найти меру угла ACV, который является вписанным углом.

Решение:
1. Вписанный угол - это угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны содержат две хорды этой окружности, начинающиеся из этой вершины.
2. В данной задаче угол ACV является вписанным углом, так как его стороны AC и CV являются хордами окружности.
3. Известно, что углы AC и BC равны. Значит, угол ACB также равен 90°.
4. Так как ACB - это центральный угол, то угол ACV, являющийся вписанным углом, равен половине меры центрального угла ACB.
То есть угол ACV = \(\frac{{ACB}}{2}\).
Подставляем известные значения: угол ACV = \(\frac{{90°}}{2}\) = 45°.

Ответ: Мера угла ACV, который является вписанным углом, равна 45°.

Задача 10:
Дано: Хорда, разделяющая угол на две части. Соотношение мер их углов равно 4:5.
Требуется: Определить, какой тип угла образуется точками на хорде.

Решение:
1. Угол, образуемый точками на хорде, может быть одним из следующих типов: острый, прямой или тупой.
2. Известно, что соотношение мер углов, образованных точками на хорде, составляет 4:5.
Значит, мера одного угла будет равна \(\frac{4}{4+5}\) от полного угла, а мера другого угла будет равна \(\frac{5}{4+5}\) от полного угла.
3. Выполняем вычисления:
- Мера первого угла = \(\frac{4}{4+5}\) * 180° ≈ 80°
- Мера второго угла = \(\frac{5}{4+5}\) * 180° ≈ 100°

4. Исходя из значений мер углов, можно сделать вывод:
- Если мера первого угла меньше 90°, а второго угла больше 90°, то образуется тупой угол.
- Если мера первого угла равна 90°, то образуется прямой угол.
- Если мера первого угла больше 90°, а второго угла меньше 90°, то образуется острый угол.

Ответ: Тип угла, образуемого точками на хорде, зависит от значений мер углов. Если мера первого угла меньше 90°, а мера второго угла больше 90°, то образуется тупой угол. Если мера первого угла равна 90°, то образуется прямой угол. Если мера первого угла больше 90°, а мера второго угла меньше 90°, то образуется острый угол.