Посчитайте меру угла м в треугольнике MNT, если координаты точек M (1; -1; 3), N (3; -1; 1) и T (-1

Для нахождения меры угла м в треугольнике MNT, нам понадобится знание о векторных операциях и свойствах скалярного произведения. Давайте рассмотрим шаги по нахождению этого угла.

Шаг 1: Найдите векторы MN и MT.
Для этого нужно вычислить разность координат каждой пары точек. Вектор от M до N обозначим как \(\vec{MN}\), а вектор от M до T обозначим как \(\vec{MT}\).

\(\vec{MN} = \langle x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_N \rangle\)
\(\vec{MT} = \langle x_T - x_M, y_T - y_M, z_T - z_M \rangle\)

Подставим координаты точек M (1; -1; 3), N (3; -1; 1) и T (-1; 2; 4) в формулы:

\(\vec{MN} = \langle 3 - 1, -1 - (-1), 1 - 3 \rangle = \langle 2, 0, -2 \rangle\)
\(\vec{MT} = \langle -1 - 1, 2 - (-1), 4 - 3 \rangle = \langle -2, 3, 1 \rangle\)

Шаг 2: Вычислите значение скалярного произведения векторов MN и MT.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

\(\vec{MN} \cdot \vec{MT} = (x_{MN} \cdot x_{MT}) + (y_{MN} \cdot y_{MT}) + (z_{MN} \cdot z_{MT})\)

Подставим значения векторов:

\(\vec{MN} \cdot \vec{MT} = (2 \cdot -2) + (0 \cdot 3) + (-2 \cdot 1) = -4 - 0 - 2 = -6\)

Шаг 3: Вычислите длины векторов MN и MT.

Длина вектора вычисляется по формуле:

\(|\vec{V}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

Для вычисления длины вектора MN:

\(|\vec{MN}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8}\)

Для вычисления длины вектора MT:

\(|\vec{MT}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}\)

Шаг 4: Найдите косинус угла между векторами MN и MT.

Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:

\(\cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{MT}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{MT}|}\)

Подставим значения:

\(\cos \theta = \frac{-6}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{14}}\)

Шаг 5: Найдите меру угла между векторами MN и MT.

Используя обратную функцию косинуса (арккосинус), найдем меру угла:

\(\theta = \arccos \left(\frac{-6}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{14}}\right)\)

Это даст нам значение угла в радианах. Если вам нужно значение угла в градусах, вы можете преобразовать его по формуле:

\(угол~в~градусах = \frac{\theta \cdot 180}{\pi}\)

Таким образом, мы можем найти меру угла м в треугольнике MNT, используя вышеуказанные шаги.