Знайти площу поверхні кулі, яка перетинається площиною, розташованою на відстані 8см від центра кулі і перетинає

Нам потрібно знайти площу поверхні кулі, яка перетинається площиною. Дано, що ця площина розташована на відстані 8 см від центра кулі і перетинає поверхню на лінії.

Для початку, давайте згадаємо формулу площі поверхні кулі. Площа поверхні кулі \(S\) обчислюється за формулою:

\[S = 4 \pi r^2\]

де \(\pi\) - це математична константа, що приблизно дорівнює 3.14, а \(r\) - радіус кулі.

У цьому завданні радіус кулі не наводиться безпосередньо, але нам дано інформацію про відстань між центром кулі і площиною, яка становить 8 см.

Аби знайти радіус кулі, використаємо те, що трикутник, утворений площиною, радіусом кулі і відрізком, що йде від центру кулі до площини, є прямокутним. Проведемо також лінію від центру кулі до точки перетину кулі і площини, цей відрізок буде прямою ламаною з фрагментами, що проходять через радіус кулі і з фрагментом, який є відрізком між центром кулі і точкою перетину. Тоді сформуємо два прямокутних трикутники - перший з них містить радіус кулі, відрізок до точки перетину та відрізок, що лежить на площині; а другий - відрізок між центром кулі і точкою перетину, радіус кулі та відрізок на площині. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи.

Отже, в нашому випадку, ми отримаємо два прямокутних трикутники, де катет одного з них - це відрізок на площині (8 см), а гіпотенуза - це радіус кулі (який ми намагаємося знайти). В другому прямокутному трикутнику, катет - це також відрізок на площині (8 см), а гіпотенуза - це відрізок між центром кулі і точкою перетину (радіус кулі) і гіпотенуза катета (радіус кулі) маємо знані удвічи, тому якщо позначимо \(r\) ридус кулі, отримаємо

\[r^2 = a^2 + b^2\]

де \(a\) і \(b\) - це відомі сторони прямокутних трикутників (8 см). Застосуємо цю формулу до нашої ситуації, тому що ми маємо два прямокутних трикутники з рівними катетами.

\[r^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128\]

Отже, отримуємо \(r^2 = 128\), тоді \(r = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\) cm.

Тепер, коли ми знаємо радіус кулі, ми можемо обчислити її площу поверхні, використовуючи формулу \(S = 4 \pi r^2\):

\[S = 4 \cdot 3.14 \cdot (8\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3.14 \cdot (64 \cdot 2) = 4 \cdot 3.14 \cdot 128 = 1609.28 \, \text{cm}^2\]

Отже, площа поверхні кулі, яка перетинається площиною, розташованою на відстані 8 см від центра кулі і перетинає поверхню на лінії, становить 1609.28 \( \text{см}^2\).

Якщо є які-небудь додаткові питання або щось не зрозуміло, будь ласка, пишіть!