Знайти площу подібного прямокутника з периметром

Хорошо! Для решения этой задачи, давайте начнем с определения площади и периметра прямоугольника.

Периметр прямоугольника - это сумма длин всех его сторон. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через \(a\), а длину другой стороны через \(b\). Тогда периметр \(P\) будет равен удвоенной сумме данных сторон:

\[P = 2a + 2b\]

Теперь мы знаем, что прямоугольники, которые называются подобными, имеют пропорциональные стороны. Это означает, что если одна сторона прямоугольника увеличивается в некоторое число раз (назовем его коэффициентом подобия), то другая сторона также увеличивается в том же самом числе раз. Обозначим коэффициент подобия через \(k\).

Теперь давайте представим, что у нас есть исходный прямоугольник с периметром \(P_1\) и одним набором сторон \(a_1\) и \(b_1\), и другой, подобный прямоугольник с периметром \(P_2\) и сторонами \(a_2\) и \(b_2\). Мы хотим найти площадь подобного прямоугольника в терминах периметра.

Так как коэффициент подобия одинаков для всех сторон, мы можем записать следующие соотношения:

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k\]

Теперь, используя выражение для периметра прямоугольника, мы можем записать:

\[P_1 = 2a_1 + 2b_1\]
\[P_2 = 2a_2 + 2b_2\]

Так как коэффициент подобия одинаков для всех сторон, мы можем записать:

\[a_2 = ka_1\]
\[b_2 = kb_1\]

Теперь, подставив эти значения в выражение для периметра \(P_2\), мы получим:

\[P_2 = 2(ka_1) + 2(kb_1)\]
\[P_2 = 2k(a_1 + b_1)\]

Таким образом, мы видим, что периметр подобного прямоугольника увеличивается в \(k\) раз по сравнению с исходным прямоугольником.

Теперь давайте рассмотрим площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его сторон \(a\) и \(b\). Обозначим площадь исходного прямоугольника через \(S_1\), а площадь подобного прямоугольника через \(S_2\). Так как стороны пропорциональны, мы можем записать:

\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = k\]

Отсюда мы можем сделать следующее соотношение:

\[\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2}) \cdot (\frac{b_1}{b_2})\]

Подставим значения коэффициента подобия, которые мы получили ранее:

\[\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{ka_1}) \cdot (\frac{b_1}{kb_1})\]
\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k}\]
\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{k^2}\]

Таким образом, мы видим, что площадь подобного прямоугольника уменьшается в \(k^2\) раз по сравнению с исходным прямоугольником.

Обобщая наше рассуждение, мы можем сделать вывод, что площадь подобного прямоугольника можно найти, используя следующую формулу:

\[S_2 = \frac{S_1}{k^2}\]

Где \(S_1\) - площадь исходного прямоугольника, а \(k\) - коэффициент подобия. Применяя эту формулу к вашей задаче, вы сможете найти площадь подобного прямоугольника с заданным периметром.