Знайдіть висоту прямої призми, основою якої є трапеція з діагоналями довжиною 9 см і 12 см, якщо меньша діагональ

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойство прямоугольной призмы, согласно которому высота прямой призмы равна длине перпендикуляра, проведенного из вершины одного из оснований на другое основание.

Для начала, определимся с основанием призмы. Мы знаем, что основанием призмы является трапеция, у которой диагонали имеют длины 9 см и 12 см. Обозначим меньшую диагональ как \(a = 9 \, \text{см}\), а большую диагональ как \(b = 12 \, \text{см}\).

Для нахождения высоты призмы, нам необходимо знать еще одну величину - длину перпендикуляра, проведенного из вершины одного из оснований.

Найдем эту величину.

Из свойства трапеции, мы можем найти высоту треугольника, образованного диагональю и боковой стороной трапеции. Для этого воспользуемся формулой:
\[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2}\]

Подставим значения в формулу:
\[h = \sqrt{9^2 - \left(\frac{12 - 9}{2}\right)^2}\]
\[h = \sqrt{81 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}\]
\[h = \sqrt{81 - \frac{9}{4}}\]
\[h = \sqrt{\frac{324}{4} - \frac{9}{4}}\]
\[h = \sqrt{\frac{315}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{315}}{\sqrt{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{315}}{2}\]
\[h = \frac{\sqrt{9 \cdot 35}}{2}\]
\[h = \frac{3\sqrt{35}}{2}\]

Таким образом, высота прямой призмы, основой которой является трапеция с диагоналями длиной 9 см и 12 см, равна \(\frac{3\sqrt{35}}{2}\) сантиметра.