Знайдіть відстань від кінців хорди до прямої, що пролягає через центр кола, яке перетинає його діаметр під кутом

міститься в колі.

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться знання про кілька властивостей кола і трикутника.

Спочатку звернемо увагу на те, що коло перетинає свій діаметр під кутом 30° і розділяє його на два відрізки. Оскільки кут 30° є третиною повного кута кола, то можемо припустити, що довжина всього діаметра дорівнює 3 одиницям (наприклад, см).

Також відомо, що один з відрізків має довжину 7 см, а інший міститься в колі. Позначимо сумарну довжину цих відрізків як \(L\). Оскільки другий відрізок розташований всередині кола, то його довжина буде менше за 7 см. Залежно від того, яка довжина другого відрізка, відрізок від кінця першого відрізка до прямої, проходячої через центр кола, може складатися з двох частин: одна частина лежить за межами кола, а інша - всередині кола.

Наша задача - знайти ці дві довжини. Позначимо відстань від кінця першого відрізка до прямої як \(x\), а довжину другого відрізка як \(y\).

Тепер ми можемо створити рівняння, використовуючи властивості кола та теорему Піфагора для прямокутних трикутників. Зверніть увагу на наступне креслення, що допоможе нам установити зв"язок між всіма величинами:

\[
\begin{array}{cccc}
& & \text{{\tiny Кінець першого відрізка}} & \\
& & \downarrow & \\
\text{{\tiny 1й відрізок}} & \longrightarrow & x & \longrightarrow \\
& & \uparrow & \\
& & \text{{\tiny Пряма, що проходить через центр кола}} & \\
& \nearrow & \downarrow & \searrow \\
& & \text{{\tiny Центр кола}} & \\
& \searrow & \uparrow & \nearrow \\
& & \text{{\tiny 2й відрізок}} & \\
& & \downarrow & \\
& & \text{{\tiny Кінець другого відрізка}} & \\
\end{array}
\]

З допомогою цього креслення отримуємо систему рівнянь:

\[x + y = L \quad (1)\]
\[(x + y)^2 + y^2 = L^2 \quad (2)\]

Зі співвідношення (1) можна виразити \(x\) через \(y\):

\[x = L - y\]

Підставимо цю величину в рівняння (2) і отримаємо:

\[(L - y + y)^2 + y^2 = L^2\]

Виконавши алгебраїчні перетворення, ми отримаємо:

\(L^2 - 2Ly + 2y^2 = L^2\)

Скоротимо \(L^2\) з обох сторін і перенесемо всі члени рівняння в одну сторону:

\(2y^2 - 2Ly = 0\)

Підсумовуючи подібні члени, отримаємо:

\(2y(y - L) = 0\)

Це рівняння має два розв"язки: \(y = 0\) та \(y = L\).

Перший розв"язок \(y = 0\) не задовольняє умовам задачі, тому він не може бути вірним.

Другий розв"язок \(y = L\) означає, що довжина другого відрізка дорівнює сумі довжин першого відрізка та розмірів обох відрізків, що становить \(L = 7 + L\).

Отже, відстань від кінців хорди до прямої, що пролягає через центр кола, становить \(L\), тобто 7 см.

Я сподіваюся, що цей розв"язок був зрозумілим. Звертайтесь, якщо у вас є ще якісь запитання.