Как можно разложить вектор XY на векторы ND и NC, если точка X делит сторону DN в отношении DX:XN=3:1, а точка Y делит

Чтобы разложить вектор XY на векторы ND и NC, нужно воспользоваться пропорциональностью отношений, заданных в условии задачи.

Для начала, обозначим вектор XY как \(\vec{XY}\), вектор ND как \(\vec{ND}\) и вектор NC как \(\vec{NC}\).

По условию, точка X делит сторону DN в отношении DX:XN = 3:1. Это означает, что длина вектора \(\vec{DX}\) равна третьей части длины вектора \(\vec{DN}\), а длина вектора \(\vec{XN}\) равна оставшейся части длины вектора \(\vec{DN}\). То есть:

\(\vec{DX} = \frac{1}{3}\vec{DN}\)
\(\vec{XN} = \frac{2}{3}\vec{DN}\)

Аналогично, по условию, точка Y делит сторону NC в отношении NY:YC = 3:1. Это означает, что длина вектора \(\vec{NY}\) равна третьей части длины вектора \(\vec{NC}\), а длина вектора \(\vec{YC}\) равна оставшейся части длины вектора \(\vec{NC}\). То есть:

\(\vec{NY} = \frac{1}{3}\vec{NC}\)
\(\vec{YC} = \frac{2}{3}\vec{NC}\)

Теперь мы можем выразить векторы \(\vec{DN}\) и \(\vec{NC}\) через векторы \(\vec{DX}\) и \(\vec{NY}\). Для этого мы просто умножим соответствующие отношения на соответствующие векторы:

\(\vec{DN} = \vec{DX} + \vec{XN} = \frac{1}{3}\vec{DN} + \frac{2}{3}\vec{DN} = \vec{DX} + 2\vec{XN}\)
\(\vec{NC} = \vec{NY} + \vec{YC} = \frac{1}{3}\vec{NC} + \frac{2}{3}\vec{NC} = \vec{NY} + 2\vec{YC}\)

Теперь мы можем подставить известные значения векторов \(\vec{DX}\), \(\vec{XN}\), \(\vec{NY}\) и \(\vec{YC}\), и решить получившиеся уравнения относительно векторов \(\vec{DN}\) и \(\vec{NC}\):

\(\vec{DN} = \vec{DX} + 2\vec{XN} = \frac{1}{3}\vec{DN} + \frac{2}{3}\vec{DN} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\vec{DN}\right) + \frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\vec{DN}\right)\)
\(\vec{NC} = \vec{NY} + 2\vec{YC} = \frac{1}{3}\vec{NC} + \frac{2}{3}\vec{NC} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\vec{NC}\right) + \frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\vec{NC}\right)\)

Решим эти уравнения:

\(\frac{1}{3}\vec{DN} = \frac{1}{9}\vec{DN} + \frac{4}{9}\vec{DN}\)
\(\frac{1}{3}\vec{NC} = \frac{1}{9}\vec{NC} + \frac{4}{9}\vec{NC}\)

Общий знаменатель 9 позволяет нам убрать дроби:

3\(\vec{DN} = \vec{DN} + 4\vec{DN}\)
3\(\vec{NC} = \vec{NC} + 4\vec{NC}\)

Упростим:

2\(\vec{DN} = 0\)
2\(\vec{NC} = 0\)

Таким образом, получаем, что \(\vec{DN} = 0\) и \(\vec{NC} = 0\).

Это означает, что векторы \(\vec{ND}\) и \(\vec{NC}\) равны нулевому вектору. То есть, чтобы разложить вектор \(\vec{XY}\) на векторы \(\vec{ND}\) и \(\vec{NC}\), нужно просто взять нулевой вектор.