Знайдіть точки, для яких похідна функції f(x) = x^2 - x дорівнює нулю

Хорошо, давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Найдем производную функции \(f(x)\).
Для этого мы возьмем функцию \(f(x) = x^2 - x\) и возьмем ее производную по \(x\). Производная функции f(x) вычисляется путем применения правила дифференцирования степенной функции. Для каждого члена функции мы умножим его показатель степени на коэффициент перед ним и уменьшим показатель степени на 1. Таким образом, производная функции \(f(x) = x^2 - x\) будет выглядеть так:
\[f"(x) = 2x - 1\]

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю.
Мы знаем, что производная \(f"(x)\) показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Если производная равна нулю, то это означает, что функция имеет горизонтальную касательную в этой точке. Давайте приравняем производную к нулю и решим это уравнение:
\[2x - 1 = 0\]

Добавим единицу к обеим сторонам уравнения:
\[2x = 1\]

Деление обеих сторон уравнения на 2 даёт:
\[x = \frac{1}{2}\]

Таким образом, у нас есть одна точка, в которой производная функции равна нулю - \(x = \frac{1}{2}\).

Шаг 3: Проверим, есть ли другие точки, в которых производная равна нулю.
Для этого можно нарисовать график функции \(f(x) = x^2 - x\) и посмотреть, где график пересекает ось Ox (ось абсцисс). Если график пересекает ось Ox, то производная будет равна нулю в этих точках. Обратите внимание, что мы уже нашли одну точку (\(x = \frac{1}{2}\)), но давайте проверим, есть ли еще точки.

Построим график:
\[y = x^2 - x\]

\[
\begin{{array}}{{c|c}}
x & y \\
\hline
-2 & 6 \\
-1 & 2 \\
0 & 0 \\
1 & 0 \\
2 & 2 \\
\end{{array}}
\]

Из графика видно, что в точках \(x = 0\) и \(x = 1\) график функции пересекает ось Ox. То есть, производная функции \(f(x)\) также равна нулю в точках \(x = 0\) и \(x = 1\).

Итак, точки, для которых производная функции \(f(x) = x^2 - x\) равна нулю, это \(x = \frac{1}{2}\), \(x = 0\) и \(x = 1\).