Знайдіть скалярний добуток векторів АС і АК в кубі ABCDA1B1C1D1, де ребро дорівнює 4, а точка К є серединою ребра

Хорошо, давайте решим задачу. У нас есть куб ABCDA1B1C1D1, где ребро равно 4. Точка K является серединой ребра СС1. Мы должны найти скалярное произведение векторов AC и AK двумя способами.

Способ 1:

Для начала, нам нужно найти координаты точек А, С и К в трехмерном пространстве.

Поскольку ABCDA1B1C1D1 - это куб, мы можем представить его в трехмерной системе координат таким образом:

Точка A имеет координаты (0, 0, 0)
Точка B имеет координаты (4, 0, 0)
Точка C имеет координаты (4, 4, 0)
Точка D имеет координаты (0, 4, 0)
Точка A1 имеет координаты (0, 0, 4)
Точка B1 имеет координаты (4, 0, 4)
Точка C1 имеет координаты (4, 4, 4)
Точка D1 имеет координаты (0, 4, 4)

Следующим шагом, нам нужно найти векторы AC и AK.

Вектор AC - это разница между координатами точек A и C:

\[\overrightarrow{AC} = (4-0, 4-0, 0-0) = (4, 4, 0)\]

Вектор AK - это разница между координатами точек A и K:

Точка K является серединой ребра СС1, поэтому координаты точки K будут средними значениями координат точек C и C1:

\(x_K = \frac{x_C + x_{C1}}{2} = \frac{4+4}{2} = 4\)

\(y_K = \frac{y_C + y_{C1}}{2} = \frac{4+4}{2} = 4\)

\(z_K = \frac{z_C + z_{C1}}{2} = \frac{0+4}{2} = 2\)

Таким образом, координаты точки K составляют (4, 4, 2).

Теперь, чтобы найти вектор AK, мы вычитаем координаты точки A из координат точки K:

\[\overrightarrow{AK} = (4-0, 4-0, 2-0) = (4, 4, 2)\]

Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AC и AK.
Скалярное произведение векторов определяется формулой:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AK} = (4 \cdot 4) + (4 \cdot 4) + (0 \cdot 2) = 16 + 16 + 0 = 32\)

Таким образом, скалярное произведение векторов AC и AK равно 32.

Способ 2:

Другой способ решить эту задачу - использовать расширенную формулу для скалярного произведения векторов:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AK} = |\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AK}| \cdot \cos{\theta}\)

где \(|\overrightarrow{AC}|\) и \(|\overrightarrow{AK}|\) - длины векторов AC и AK соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Длина вектора AC равна:

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(4^2) + (4^2) + (0^2)} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

Длина вектора AK равна:

\(|\overrightarrow{AK}| = \sqrt{(4^2) + (4^2) + (2^2)} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\)

Теперь мы должны найти угол \(\theta\) между векторами AC и AK. Для этого мы можем использовать формулу:

\(\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AK}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AK}|}\)

\(\cos{\theta} = \frac{32}{(4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{14})} = \frac{32}{8\sqrt{2}\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{2}\sqrt{14}} = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}\) (Упростим выражение)

Теперь мы можем подставить значение \(\cos{\theta}\) обратно в формулу:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AK} = (4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{14}) \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = 16\sqrt{2}\sqrt{14}\frac{2}{\sqrt{7}} = 64\sqrt{2}\)

Таким образом, второй способ даёт нам значение скалярного произведения векторов AC и AK равным \(64\sqrt{2}\).

В итоге, скалярное произведение векторов AC и AK составляет 32 при первом способе решения и \(64\sqrt{2}\) при втором способе решения.