Знайдіть розміри сторін прямокутника, якщо їх сума становить 7, а діагональ

Хорошо, предположим, что стороны прямоугольника обозначены как \(a\) и \(b\). Тогда у нас есть два условия для нахождения размеров сторон:

1. Сумма сторон составляет 7: \(a + b = 7\).
2. Диагональ прямоугольника является неизвестной и обозначается как \(d\).

Мы можем использовать эти два условия для решения задачи. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Используем теорему Пифагора для нахождения диагонали \(d\). В прямоугольнике с двумя сторонами, положенными на оси \(x\) и \(y\), длина диагонали \(d\) выражается формулой:

\[d^2 = a^2 + b^2\]

У нас есть одно условие: сумма сторон составляет 7. Перепишем это условие в виде \(a = 7 - b\) и заменим его в формуле для диагонали:

\[d^2 = (7 - b)^2 + b^2\]

Шаг 2: Упростим данное уравнение:

\[d^2 = 49 - 14b + b^2 + b^2\]
\[d^2 = 2b^2 - 14b + 49\]

Шаг 3: Теперь у нас есть два уравнения:

\[\begin{cases} a + b = 7 \\ d^2 = 2b^2 - 14b + 49 \end{cases}\]

Для того чтобы найти размеры сторон прямоугольника, нам нужна информация о диагонали. Если мы предположим, что диагональ равна 5 (это должно быть указано в задаче), то мы можем использовать это значение для нахождения размеров сторон \(a\) и \(b\).

Шаг 4: Заменим \(d\) на 5 в уравнении для диагонали:

\[5^2 = 2b^2 - 14b + 49\]
\[25 = 2b^2 - 14b + 49\]
\[2b^2 - 14b + 24 = 0\]

Шаг 5: Это уравнение является квадратным трехчленом, которое можно решить с помощью факторизации, метода дискриминанта или формулы корней квадратного уравнения. В данном случае мы можем просто разделить все коэффициенты на 2, чтобы упростить его:

\[b^2 - 7b + 12 = 0\]

Затем факторизуем это уравнение:

\[(b - 3)(b - 4) = 0\]

Из этого мы можем найти два значения для \(b\): \(b = 3\) или \(b = 4\).

Шаг 6: Теперь, когда у нас есть два значения для \(b\), мы можем найти соответствующие значения для \(a\), используя первое уравнение:

- Когда \(b = 3\), подставим это значение в \(a + b = 7\) и найдем \(a\):
\[a + 3 = 7\]
\[a = 4\]

- Когда \(b = 4\), подставим это значение в \(a + b = 7\) и найдем \(a\):
\[a + 4 = 7\]
\[a = 3\]

Таким образом, мы получили две пары значений для сторон прямоугольника: \(a = 4\) и \(b = 3\), а также \(a = 3\) и \(b = 4\).